Готовишься к ЕГЭ по профильной математике 2024? А в тригонометрических уравнениях разобрался? Нет? Тогда ты попал на нужную страницу. Если тригонометрическая окружность и формулы тригонометрии вызывают у тебя страх и панику - эта статья для тебя. Сегодня я постараюсь объяснить базовые принципы тригонометрии, однако, мой рассказ будет весьма подробным и содержательными, поэтому, если вы уже умеете решать задачи по тригонометрии, не спешите закрывать страницу. Уверенна, и вы сможете найти здесь что-нибудь новое и интересно.
Прежде чем мы начнем решать уравнения, предлагаю вспомнить геометрию 8 класса. На рисунках представлены теорема Пифагора и формулы тригонометрических функций по определению, сейчас они будут нам полезны.
Причем тут теорема Пифагора? Все дело в том, что благодаря этой теореме можно получить одну очень важную формулу тригонометрии. Давайте разбираться.
Теорема Пифагора описывает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Тригонометрические функции тоже описывают эту связь. Попробуем написать теорему Пифагора, используя тригонометрические функции. Для этого выразим из формулы синуса катет a, а из формулы косинуса – катет b.
Теперь подставим получившиеся формулы в теорему Пифагора и разделим получившееся выражения на c^2
Полученная нами формула именуется основным тригонометрическим тождеством и в дальнейшем будет очень часто нами использоваться. Теперь поделим наше выражение отдельно на cos2a и sin2a и получим еще две формулы:
Держу пари, эти формулы вылетали из головы в тот самый момент, когда они были так нужны. Надеюсь, теперь вы сможете без труда вывести эти формулы, если они вам понадобятся.
К сожалению, остальные формулы тригонометрии выводятся достаточно сложно и долго, поэтому я просто прикреплю картинку со всеми формулами тригонометрии для ЕГЭ по профильной математике, а вы их выучите. Договорились? Отлично, тогда вот формулы
Формулы тригонометрии связаны между собой, лучший способ научиться работать с формулами тригонометрии – доказывать тождества. В интернете есть огромное количество таких заданий, а прелесть их в том, что проверять свое решение можно без сторонней помощи: тождество сошлось – все верно, нет – ищем ошибку. К работе с формулами стоит относиться крайне внимательно, тригонометрия бывает коварна. Взгляните на переход
Заметили ошибку? Если да, то тест на внимательность пройден, если нет – берем на заметочку и не забываем себя проверять (чтобы переход был верным, нужно добавить к косинусу квадрат, либо взять правую часть под корень, и не забыть про знаки, разумеется).
С формулами разобрались, на очереди тригонометрическая окружность. Прежде, чем мы начнем говорить о том, как с ней работать, обсудим ее свойства:
1) Тригонометрическая окружность – это всегда окружность единичного радиуса (r = 1), с центром в точке (0;0).
2) Тригонометрическая окружность имеет 2 направления обхода: положительное – против часовой стрелки, и отрицательное – по часовой стрелке.
3) 0 градусов на тригонометрической окружности расположен в точке (1;0)
Приступим к работе с окружностью. Отметим на ней точку с координатами (x0; y0), и проведем из нее перпендикуляры к осям х и у, как показано на рисунке.
Получили прямоугольный треугольник с катетами x0, у0 и гипотенузой r. Теперь выразим значения синуса и косинуса для угла a.
С учетом того, что радиус окружность r = 1, получим:
Из этого мы получили главное свойство тригонометрической окружности:
Если точка на окружности, полученная путем поворота на a градусов, имеет координаты (x0; y0), то sin a = y0, cos a = x0. Иными словами: синус – это y-координата точки на тригонометрической окружности, косинус – x-координата. Зная это, можно вывести основные свойства тригонометрических функции.
Знаки тригонометрических функций зависят от того, в какой четверти находится точка. Так как синус – это у-координата, он (синус) будет положителен в тех четвертях, в которых по оси y у точки на окружности положительные координаты, то есть в первой и второй четверти. Отрицательные значения синуса имеют углы, которые переводят точку из нуля в третью и четвертую четверти. Аналогично синусу определяются и знаки косинуса. Косинус – х-координата, соответственно косинус будет положителен для углов из первой и четвертой четверти и отрицательным для углов из второй и третей.
Знаки тангенса и котангенса напрямую зависят от знаков синуса и косинуса. Так как тангенс – это отношение синуса к косинусу, а котангенс – косинуса к синусу, следовательно в первой и третьей четвертях тангенс и котангенс положительны, во второй и четвертой – отрицательны. Знаки тригонометрических функций обязательно нужно учитывать если вы используете основное тригонометрическое тождество или формулы приведения.
Теперь можем переходить к самому интересному. Попробуем разобраться с тем, как решать простейшие тригонометрические уравнения через окружность.
Рассмотрим уравнение sin x = a
Здесь, а – число в пределах от -1 до 1 включительно. Если в уравнении а > 1 или а < -1, то решений нет, так как синус – ограниченная функция, которая может принимать значения в пределах от -1 до 1 включительно. Это объясняется определением синуса из геометрии: если синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а гипотенуза самая большая сторона в прямоугольном треугольнике, то синус — это всегда дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Для решения подобных уравнений используют следующий порядок действий:
1) На оси у находим и отмечаем точку с координатами (0; а)
2) Проводим через отмеченную точку прямую, параллельную оси x. В точках пересечения проведенной прямой и окружности будут располагаться корни нашего уравнения (по сути, в первых двух пунктах мы просто ищем точку на окружности, у которой по оси y координата равна a).
3) Соединяем отрезком корни и начало координат. Острые углы между осью х и проведенными отрезками будут такими, синус которых равен |a| (модуль здесь нужен для математической корректности: в этом пункте нас интересует именно острый угол между осью x и проведенными отрезками, синус острого угла не может быть отрицательным, но a может, однако, наличие модуля избавляет нас от этой несостыковки), иначе говоря, эти углы будут равны arcsin a. Об обратных тригонометрических функциях в этой статье говорить не буду. Напомню лишь, что обратные тригонометрические функции возвращают угол. Знания о величине этих углов пригодятся нам для вычислений в следующем пункте.
4) Считаем, какие углы получаются, они пойдут в ответ. Тут мы всегда отсчитываем углы от 0 градусов. Чтобы мне было проще объяснить, как правильно выполнить этот пункт, снова немного вспомним геометрию. Помните, чему равен центральный угол окружности? Правильный ответ - дуге, на которую он опирается, так вот, в этом пункте нас, по сути, интересует величина центрального угла, опирающегося на дугу от 0 градусов и до нашего корня (нужные углы показаны на рисунке ниже синим цветом). Важно отметить, что угол можно считать как в положительном, так и в отрицательном направлении (если считаем в отрицательном, не забываем поставить минус), главное, начинать отсчет от 0.
5) Так как синус, это периодическая функция, в выражениях для корней нужно это учитывать. Если взглянуть на график y = sin x, можно увидеть, что каждому значению y соответствует множество значений х (иными словами, у может принимать одни и те же значения при разных х). Так вот, в последнем пункте перед нами стоит задача написать такое выражение для решения, которое описывало бы все возможные корни. Тут нам очень помогает окружность. Тригонометрическую окружность можно обходить бессчётное количество раз, со знанием этого факта, понять, как будет выглядеть нужное нам решение совсем не сложно. Самая лучшая тактика – задать себе вопрос: какую дугу нужно пройти по окружности, чтобы снова попасть в корень? Как правило, это полный оборот или половина оборота, т.е. 360 или 180 градусов. Когда ответ на вопрос получен, можем приступать к записи решения. Оно всегда состоит из угла, который получается в пункте 4, и из приписки, описывающей периодичность. Если корни повторяются через полный круг – приписываем к углу из пункта 4 + 2 pi k, если пол круга – приписываем + pi k, и т.д. Что такое k? Чтобы разобраться в этом, предлагаю выяснить, что представляет из себя решение любого тригонометрического уравнения. Можно сказать так: корни тригонометрического уравнения будут образовывать арифметическую прогрессию, то есть каждый следующий корень на одно и то же число градусов больше предыдущего. А помните формулу нахождения n-ого члена арифметической прогрессии?
Если проводить аналогию, можно сказать, что, когда мы формируем ответ тригонометрического уравнения, мы записываем что-то вроде формулы для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии. Посудите сами, мы считаем угол в пункте 4, он будет выполнять функцию первого члена арифметической прогрессии a1, от которого начинается отсчет. Дальше необходимо найти все остальные члены этой прогрессии, для этого нам нужен шаг этой прогрессии (d в формуле), его мы находим в начале этого пункта (величина дуги, через которую повторяются корни). Число n в задачах на арифметическую прогрессию показывает какой именно член прогрессии считается. В записи решения тригонометрического уравнения k играет примерно ту же роль. Разные k будут давать нам разные решения тригонометрического уравнения, однако, k может быть не любым. Если помните, n должно быть целым, k тоже, поэтому на k обязательно нужно наложить условие:
В некоторых источниках вместо буквы “k” используют букву “n”, принципиальной разницы в этом нет.
Теперь поговорим об уравнениях вида cos x= a.
Для того, чтобы это уравнение имело решение, необходимо чтобы a лежало в пределах от -1 до 1 включительно. Объясняется это также, как в случае уравнения синуса. Алгоритм решения таких уравнений отличается от уравнений с синусами лишь двумя первыми пунктами.
1) Так как косинус – это x-координата точки на окружности, соответственно, в первом пункте нам необходимо найти и отметить на оси x точку с координатами (a; 0).
2) Далее нам так же нужно провести прямую через получившуюся точку до пересечения с окружностью, но уже параллельную оси y.
Остальные пункты будут абсолютно такими же, как в случае уравнения вида sin x = a.
Рассмотрим уравнения вида tg x= a и ctg x = a. Решение уравнений с синусом и косинусом начиналось с поиска нужной точки на осях y или x. Для решения уравнений с тангенсом и котангенсом нам тоже нужно найти точки на осях, но не на y или x, а на вспомогательных. В случае тангенса, вспомогательная ось – это прямая, проходящая через точку (1; 0), параллельная оси y. Тогда точка, которую мы ищем в первом пункте, должна иметь координаты (1; a) Для котангенса, вспомогательная ось – это прямая, проходящая через точку (0; 1), параллельная оси x. Соответственно, в первом пункте мы должны найти точку с координатами (a; 1). А дальше все происходит так же, как в уравнениях синуса и косинуса.
Решать тригонометрические уравнения можно не только с помощью окружности, но и используя формулы. Но это мы обсудим в следующий раз. Совсем скоро на этом канале появится вторая часть, в которой мы разберемся с тем, как решать основные (в этой статье были простейшие) типы тригонометрических уравнений, которые встречаются в №13 на ЕГЭ по профильной математике. Обязательно подпишитесь на канал, чтобы не пропустить вторую часть, и оставьте комментарий, если статья была полезна. Желаю успехов в подготовке к экзаменам. До новых встреч.
