В физике главным образом рассматривается векторное пространство, самый известный пример которого это пространство из 3-х координат x,y,z и времени t. В квантовой физике были введены спиноры для описания спина элементарных частиц , генераторы спинорное группы - это матрицы Паули. В принципе можно и не вводить спиноры , а ограничиться тензорами, но просто со спинорами легче работать. Матрицы Паули σ1,σ2,σ3 имеют вид
0 1
1 0
0 -i
i 0
1 0
-1 0
Эти матрицы описывают вращение единичного вектора в комплексном пространстве. Они ортогональны друг другу ( в том смысле, что они все антикоммутируют друг с другом). Теперь просто напросто перейдем от комплексной матрицы σ2 к вещественной τ2=-iσ, τ1=σ1, τ3=σ3 (i - мнимая единица, её квадрат равен -1). Эти матрицы τ сохранят свойство антикоммутации, но все три будут чисто вещественные.
Итак зададим в каждой точке нашего пространства спинорное матрицы τ и будем считать, что они вращают 3 пространственные компоненнты x1,x2,x3 и 3 временные компоненты t1,t2,t3. Замечу, что все они будут ортогональны друг другу (в смысле антикоммутации).
Из этих матриц построим матрицы 4х4 θ1,θ2,θ3,θ4 вида
0 τ1
τ1 0
0 τ2
-τ2 0
0 τ3
τ3 0
0 -τ4
τ4 0
1 0
0 1
То есть τ4 это единичная матрица 2х2
Эти матрицы уже не все антикоммутируют друг с другом парами, но антикоммутируют тройками (триадами, смотри мою статью при триады), т.е.
θ1θ2θ3+θ3θ2θ1=0 (аналогично при любой перестановке крайних матриц относительно центральной и это правило действует для любых индексов 1,2,3,4).
Таким образом матрицы θ образуют тетраэдр (в трехмерном пространстве) с вершинами θ1,θ2,θ3,θ4. При этом матрицы θ1,θ3,θ4 коммутируют друг с другом (бозоны), а θ1,θ2,θ3 антикоммутируют друг с другом (фермионы). Собственные числа матриц θ1,θ2,θ3 вещественны λ1=1, λ2=-1, а собственные числа θ4 мнимые λ1=i, λ2=-i
Квадраты матриц θ1,θ2,θ3 равны +1, а θ4 соответственно -1, т.е. 4-я матрица будет "временной" в традиционном описании через метрический тензор Gab с сигнатурой (+,+,+,-). Т.е. при ψ=Аехр(θ1х1+θ2х2+θ2х3+θ4х4) будет
ΘaDbψ=Gabψ ( тут тензорная запись матрица Θ с индексом "а", Db- первая производная от "ψ" по переменной Х с индексом "b", Gab- метрический тензор).
6-ти мерные полностью симметричные тензоры А и Ω построенные из матриц τ1,τ2,τ3. будут удовлетворяет уравнениям АА+А-2Е=0 для частиц
ΩΩ-Ω-2Е=0 для античастиц при этом комбинации из 3-х линейно независимых собственных векторов матриц А будут давать 6 лептонов, из 2-х линейно независимых собственных векторов давать 13 адронов, а комбинации из 4-х линейно независимых собственных векторов 4 калибровочных бозона (фотон, H, Z,W бозоны) , для матриц Ω соответственно все то же самое, но для античастиц. А число лептонов 6, адронов 13, калибровочных бозонов 4. При этом ни кварки, ни глюоны, которые нельзя обнаружить (они не вылетают наружу из элементарных частиц в принципе!!!) для опи́сания не нужны. Матрицы А и Ω смотри в приложении.
Формально, чтобы не отказываться от стандартной модели элементарных частиц можно сопоставить 6-ти собственным векторам матриц А (с λ=-2) 6 кварков, а 8-ми собственным векторам (с λ=1) 8 глюонов (вообще-то векторов 12, но 4 из них дублируются, т.е. независимых 8), соответственно матрицы Ω дадут 6 антикварков.
Приложение 1 - Матрицы А1,А2,А3
0 τ3 τ2
τ3 0 τ1
-τ2 τ1 0
0 τ2 τ3
-τ2 0 τ1
τ3 τ1 0
0 τ3 τ1
τ3 0 τ2
τ1 -τ2 0
Приложение 2 - Матрицы Ω1,Ω2,Ω3
0 τ1 τ2
τ1 0 τ3
-τ2 τ3 0
0 τ2 τ1
-τ2 0 τ3
τ1 τ3 0
0 τ1 τ3
τ1 0 τ2
τ3 -τ2 0
С уважением Кот Шредингера
30.03.2024