В предыдущей статье изложение мною материала получилось не самым очевидным, судя по комментариям читателей. Попробую здесь описать производную более кратко и просто на примере высоты дорожного полотна и уклона дороги.
На рисунке 1 приведен график степенной функции, которая пересекает ось абсцисс в точках -2, -1, 0, 1, 2 и имеет 3 промежутка возрастания функции и 2 промежутка убывания функции. Пусть, например, по оси x отложено расстояние в километрах, а по вертикальной оси отражена высота дорожного полотна относительно уровня моря. Невооруженным глазом видно, что уклоны на разных участках различны, но возникает вопрос: как оценить уклон количественно?
Для этого нужно провести к каждой интересующей нас точке на графике касательную и найти угол между ней и положительным направлением оси x. Если угол будет острым, происходит набор высоты, а если угол с положительным направлением оси x превышает значение 90 градусов, мы наблюдаем уменьшение высоты. На графике на рисунке 2 приведены примеры касательных в точках x=-2, -1, 0, 1, 2.
В точках x=-2 и x=2 касательные (зеленая и синяя линии) располагаются под углом примерно 67,38 градуса к положительному направлению оси x.
В точках x=-1 и x=1 касательные (голубая и желтая линии) располагаются под углом примерно 149,04 градуса к положительному направлению оси x.
В точке x=0 касательная (оранжевая линия) располагается под углом примерно 21,8 градуса к положительному направлению оси x.
Но удобнее рассматривать не сам угол, а тангенс угла наклона, который является положительным для углов меньше 90 градусов и отрицательным для углов больше 90 градусов. Дело в том, что тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему, что в случае функций соответствует отношению изменения в функции к соответствующему изменению в аргументе. Если на изменение переменной x в 5 раз функция изменяется в 10 раз, тангенс угла наклона касательной равен двум (отношение 10/5).
Но как я провел эти касательные? Используя тот факт, что производная функции равна тангенсу угла наклона касательной, провел прямую через точку касания. Ниже привожу выводы и дальше их разберу.
Сначала находим производную к функции, которая определяет тангенс угла наклона касательной в любой точке графика. Затем, зная угол наклона, подбираем коэффициент смещения b для фиксированной точки (x0, y0). Наконец, уравнение касательной прямой (последнее в выводах на картинке) выглядит как сумма значения функции y0 в точке x0 и производной в точке x0, умноженной на разность между переменной x и точкой x0. По этому уравнению можно изобразить касательную к исследуемому графике в любой его точке, подставив вместо x0 и y0 конкретные значения.
Множество значений наклонов касательной к графику f(x)=0.1x^5-0.5x^3+0.4x (в градусах) изображено в виде графика функции на рисунке 3. Если сопоставить этот график с графиком самой функции (рисунок 2), можно точно знать мгновенное значение уклона в каждой точке моделируемого дорожного полотна.
p.s. Подписывайтесь и оставляйте отзывы. Буду пробовать писать материал максимально понятно:)