Производной называют математический оператор, который определяет, как сильно изменение в одной величине влияет на изменение в другой. Смысл производной очень прост и здесь мы обсудим ее геометрический смысл. Время показало, что здесь не очень просто получилось, есть новая версия. :)
Чтобы без труда разобраться в геометрическом смысле производных, нужно хорошо знать тригонометрические функции.
Тригонометрические функции в геометрии определяются в прямоугольном треугольнике (рисунок 1). Синусом называют отношение противолежащего катета к гипотенузе, поэтому sin(α) = a/c, а sin(β) = b/c. Поскольку оба синуса являются отношением к одной и той же величине (гипотенузе), легко видеть, что синус увеличивается с увеличением угла. Углы α и β являются острыми, только такие углы могут быть в декартовых координатах в прямоугольном треугольнике.
Как определить синус тупого угла? Угол γ=π-α является смежным углу α и он внешний по отношению к прямоугольному треугольнику, так что выразить его через отношение сторон треугольника можно только с учетом других определений тригонометрических функций, в данном случае sin(γ) = sin(α) = a/c. Аналогично sin(φ) = sin(β) = b/c.
Косинусом называют отношение прилежащего катета к гипотенузе (cos(α) = b/c, cos(β) = a/c, cos(γ) = - cos(α) = - b/c, cos(φ) = - cos(β) = - a/c). Мы здесь пропустим секанс, косеканс и котангенс.
Для определения производной нужно определение тангенса, который есть отношение противолежащего катета к прилежащему (tg(α) = a/b, tg(β) = b/a, tg(γ) = -tg(α) = -a/b, tg(φ) = -tg(β) = -b/a). Именно тангенс подходит для иллюстрации геометрического смысла производной, собственно, производная равна тангенсу угла наклона касательной к функции, если функция определена в декартовых координатах.
Раз я заговорил о касательных, пора их обсудить подробнее и начнем мы с линейной функции, которая пересекает исследуемую функцию в двух точках. В качестве примера исследуемой функции выберем обычную параболу f(x)=x^2, график которой изображен фиолетовой линией на рисунке 2. Попробуем найти производную в точке x0=2, в которой f(x0)=4. Но пока без объяснения причин предлагаю выбрать еще одну точку неподалеку и провести прямую через две получившиеся точки (удобно, что через две точки можно провести только одну прямую). В качестве второй точки (она у нас выполняет вспомогательную роль) выберем x1=3, в ней f(x1)=9.
Через выбранные точки (2,4) и (3,9) проходит функция g1(x)=5x-6 (светло-зеленая линия на рисунке 2), тангенс угла наклона прямой, соответствующей функции g1, равен 5, он определяется как отношение изменения функции f(x) к изменению независимой переменной x на промежутке между точками (2,4) и (3,9). Отношение изменения функции к изменению аргумента (только бесконечно малые изменения) как раз соответствует определению производной.
Чтобы получить значение, более близкое к производной, начнем приближать вторую точку к первой, проведем, например, прямую линию между точками (2,4) и (2.5,6.25), ей соответствует функция g2(x)=4.5x-5 (голубая линия на рисунке 2). По еще более близким точкам (2,4) и (2.1,4.41) пройдет прямая g3(x)=4.1x-4.2 (оранжевая линия на рисунке 2). Через точки (2,4) и (2.01,4.0401) пройдет прямая g4(x)=4.01x-4.02 (желтая линия на рисунке 2). Интуиция подсказывает нам, что все движется к тангенсу наклона прямой, равному 4 (темно-зеленая линия на рисунке 2). Собственно, это и есть тангенс угла наклона касательной в точке (2,4), то есть мы нашли производную в этой точке.
Здесь я сделал одно интуитивное предположение (что тангенс угла наклона в точке касания равен 4), которые мы подтвердим аналитически, как показано ниже.
Если в полученном выражении вместо x0 подставить 2, получим значение 4, к которому пришли, приближаясь к тангенсу угла наклона касательной к графику в точке x0=2.
При разборе геометрического смысла производной целесообразно начать с прямой, пересекающей функцию в двух точках, разобраться, что значит тангенс угла наклона этой прямой в контексте данной функции, а затем, приближая одну из точек, наблюдать за тангенсом угла наклона, который постоянно будет приближаться к значению производной во второй точке (к которой приближаемся). Как оказалось, непросто это все изложить и быть уверенным, что все понятно читается. На индивидуальных занятиях на каждом этапе можно было понять, доступна ли идея тому, кому объяснял. Если есть уточняющие вопросы, я постараюсь ответить в комментариях.
Не забывайте подписываться, если нравятся вопросы точных наук:)