Эффект бабочки в модели Лоренца

Модель Лоренца относится к простейшим моделям, в которых возможно наблюдение детерминированного хаоса. Это режим, при котором траектории в фазовом пространстве системы обыкновенных дифференциальных уравнений никогда не возвращаются в прежнее положение, при малом возмущении быстро отдалаются от невозмущенной траектории, однако движутся в замкнутом объеме и не покидают его.

Рисунок 1. Аттрактор Лоренца при σ=10, r=28, b=8/3.

На рисунке 1 приведен типичный аттрактор Лоренца при σ=10, r=28, b=8/3. Эффект бабочки, который легко продемонстрировать на примере этой модели, состоит в том, что малое возмущение (в результате шума или другого внешнего воздействия) приводит к быстрому его возрастанию и возникновению уникальной хаотической траектории.

Рисунок 2. Эволюция невозмущенного (зеленая линия) и возмущенного (красная линия) фазовое состояния модели Лоренца.

Рисунок 2 был получен следующим образом. Сначала модель Лоренца интегрировалась значительное время (5000 ед. безразмерного времени) и последнее состояние было сохранено. Затем это состояние было округлено до третьей значащей цифры (добавлена ошибка меньше 1%). В результате с самого начала траектории эволюции невозмущенного (зеленая линия) и возмущенного (красная линия) состояний визуально совпадают (разница незначительна), но с течением системного времени появляется сначала незначительное, а затем все более заметное различие между траекториями. Если продолжать интегрировать, траектории так далеко разбегутся друг от друга, что уже невозможно будет понять, имели ли они что-то общее в прошлом, в чистом виде эффект бабочки.

Рисунок 3. Рост фазового объема при его эволюции в модели Лоренца.

Разбегание траекторий можно проиллюстрировать тем, как увеличивается фазовый объем, заданных некоторым конечным числом точек в заданном небольшом объеме около исходной траектории (start на рисунке 3). Красная область на рисунке около начала траектории минимальна и затем увеличивается по мере эволюции фазового объема. (4 красных области на рисунке 3).

Рисунок 4. Фазовый объем, заданный при t=0 (start), в момент времени t=3.

Если продолжить наблюдение за изменением выбранного фазового объема (рисунки 4-13), обнаружится, что начальный малый фазовый объем распределяется по всему аттрактору и с течением времени это распределение становится все более равномерным. Такое явление называется перемешиванием и оно свойственно всем системам с хаотическим поведением.

Интересная иллюстрация другого хаотического аттрактора доступна по ссылке.

p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.