Эта статья является прямым продолжением моих статей посвященных гипотезе многомерного времени (см. статьи "три цвета времени" и "водоворот времени").
Сначала пара слов об уравнении Шредингера - это по сути закон сохранения энергии
ihdf/dt=-(hh/2m)Δf+Uf
Δf- оператор Лапласа по пространственным переменным (x,y,z) , т.е. сумма вторых производных от волновой функции f по этим переменным.В уравнении слева стоит полная энергия , справа сумма кинетической и потенциальной U энергии.
В своё время Дирак записал это уравнение в линейном виде , используя только первые производные для случая когда переменные можно разделить , при этом временная t и пространственные координаты (x,y,z) входят в уравнение Дирака симметрично через γ матрицы.
Таким образом у Дирака через эти матрицы вводились биспиноры. Спином по своей сути - это двухкомпонентный вектор (его вращают в комплексном пространстве матрицы Паули ) , биспинор - соответственно 4-х компонентный вектор и его вращают в комплексном пространстве матрицы Дирака γ.
Так вот зададим в каждой точке нашего
3-х мерного пространства вещественные и гиперкомплексные спиноры . Вращать их будут матрицы (a,b,c,s) вида
a= 0 0 ίσ1
κσ3 0 0
0 jσ2 0
b= 0 0 kσ1
jσ3 0 0
0 iσ2 0
c= 0 0 jσ1
iσ3 0 0
0 kσ2 0
s= 0 -σ3 0
0 0 σ2
-σ1 0 0
Здесь используются обозначения
σ1= 0 1
1 0
σ2= 0 -1
1 0
σ3= 1 0
0 -1
ii=jj=kk=-1
Свойства этих матриц кубы матриц a,b,c,s равны -Е (Е- единичная матрица) , их 4-е степени равны им самим с обратным знаком , кроме того abcbca=cab ,
bcacab=abc , cababc=bca , abcbcacab=-Е
cba= bac= acb= E .
Групповой закон ab= bc = ca = s .
Из этих матриц строятся матрицы
A= 0 a
a* 0
B= 0 b
b* 0
C= 0 c
c* 0
S= 0 s
s* 0
Здесь символ (*) означает эрмитово сопряжение , т.е. транспонирование матрицы и замену всех знаков + на - .
Кто продрался через матричный анализ- мои поздравления , переходим к главному
Матрицы A,B,C удовлетворяют уравнению вида
AA+A-2E=o
Матрицы S дают уравнение
SS-S-2E=0 или заменой S на минус S
SS+S-2E=0
при этом все собственные вектора этих матриц (читай биспиноры) взаимно ортогональны т.е. линейно независимы в парах из двух биспиноров и образуют базис из 6-ти биспиноров (читай 6 лептонов или 6 кварков в стандартной модели элементарных частиц) .
Для примера выпишу собственные вектора и собственные числа матрицы S
(101001) , (010-110) собственное число -2
(10000-1) , (0100-10) собственное числи 1
(00100-1) , (000110) собственное число 1
Т.е. первые 2 вектора ортогональны к любым векторам , а вектора с λ=1 дают соответственно 3 пары векторов ортогональных первой паре векторов с λ=-2
Уравнения Шредингера (а их уже будет 3)
примут вид
ih(df1/dτ+df2/dθ)=-(hh/2m)(df1df1/dydy+
df2df2/dzdz)+(hw/2)(f1+f2)
jh(df3/dθ+df4/dt)=-(hh/2m)(df3df3/dzdz+df4df4/dydy)+(hw/2)(f3+f4)
kh(df5/dt+df6/dτ)=-(hh/2m)(df5df5/dxdx+df6df6/dydy)+(hw/2)(f5+f6)
Здесь интересно то , что в уравнения входит энергия нулевых колебаний вакуума как потенциальная энергия в уравнениях Шредингера .
Кроме того появятся ещё 3 уравнения , чтобы временные переменные (t,τ,θ) входили бы симметрично с пространственными (x,y,z)
ih(df4/dx+df5/dx)=(p/2ww)(df4df4/dt+df5df5/dtdt)+(p/2)(f4+f5)
jh(df1/dy+df6/dy)=(p/2ww)(df1df1/dτdτ+df6df6/dτdτ)+(p/2)(f1+f6)
kh(df2/dz+df3/dz)=(p/2ww)(df2df2/dθdθ+df3df3/dθdθ)+(p/2)(f2+f3)
Эти 3 уравнения есть просто закон сохранения импульса
Решениями этих уравнений будут
f1=exp((-iEτΩ+jPyY)/h)
f2=exp((-iEθΛ+kPzZ)/h)
f3=exp((-jEθΛ+kPzZ)/h)
f4=exp((-jEtΤ+iPxX)/h)
f5=exp((-kEtΤ+iPxX)/h)
f6=exp((-kEτΩ+jPyY)/h)
Во всех формулах df - это частная производная , h - это новая постоянная Планка (простите перечеркнутого h в шрифтах нет) . Τ,Λ,Ω это временные переменные , отвечающие соответственно компонентам Еt,Eτ,Εθ т.е. компонентам энергии Е, измеряемым во времена t,τ,θ.
Px,Py,Pz это компоненты импульса P. Физический смысл имеют только квадраты Е и Р.
Замечание:
Для 3-х мерного случаю будут матрицы 3х3 и соответственно обычные вектора вместо биспиноров .
a= 0 0 i
k 0 0
0 0 j
b = 0 0 k
j 0 0
0 i 0
c= 0 0 j
i 0 0
0 k 0
s = 0 -1 0
0 0 -1
-1 0 0
Уравнения для соответствующих матриц A,B,C. будут иметь вид AA+A-2E=0
Для S будет SS+S-2E=0
В частности собственные вектора и собственные числа для S в 3-х мерном случае будут
(111) λ=-2
(10-1) , (01-1) λ=1
Таким образом уравнения Шредингера в красивой краткой форме можно записать
ηηhwf+ηhwf/2-hwf/2=0. (hw-энергия)
ηηhκf+ηhκf/2-hκf/2=0. ( hκ -импульс)
(к- волной вектор , не путать с k - мнимая единица) , здесь η это матрицы из половинок элементов матриц A,B,C,S
Матрицы η тут записаны без компонент, чтобы не перегружать читателя , корректно эти формулы записываются через верхним (контровариантные ) и нижние (ковариантные) индексы.Эти две формулы по сути являются записью законов сохранения энергии и импульса в физическом вакууме.
Формально можно отказаться от гиперкомплексные А,В,С и перейти только к вещественным S(1),S(2),S(3) диагонального вида
diag S(1)=(-2 1 1)
diag S(2)=(1 -2 1)
diag S(3)=(1 1 -2)
с умножением на соответствующие мнимые единицы i,j,k
это для 3-х мерного случая (векторное поле), для 6-ти мерного (спинорное поле) единицы и двойки удваиваются, т.к. все матрицы A,B,C,S диагонализуются и имеют одинаковые собственные числа (они вещественны т.к. матрицы эрмитовы).
Где же "живут" временные измерения t,τ,θ? Ответ они колениарны пространственным x,y,z соответственно , с точностью до умножения на мнимые единицы i,j,k.
(в случае гиперкомплексные матриц это более наглядно). Просто даже в случае винтового движения в 3-х мерном пространстве (нашем обычном) мы всегда поточечно работаем только с 2-мя пространственными и 1-ой временной (ортогональной к пространственным) координатой. Спрашивается зачем два разных времени jT и kT для одного и того же Px и X. Ответ - нельзя измерить Рх и Х одновременно с точностью более чем постоянная Планка (соотношение Гейзенберга), в этой модели можно их измерять в РАЗНЫХ временах и следовательно с любой точностью. Но для этого необходимо выйти в 6-ти мерное пространство , а мы живём в 3-х измерениях.
Ну и под конец вишенка на торте
i((df4/dt)(df5/dt)-(df5/dt)(df4/dt))=hhw/m((df4/dPx)(df5/dx)-(df4/dx)(df5/dPx))
Аналогично можно записать для пар f1f6 ,f2f3 , только с мнимыми единицами j и k
соответственно . Это запись для закона сохранения момента импульса в многомерном времени (отметьте, что в этой записи временная , пространственная и импульсная компоненты входят симметрично).
Спрашивайте, если кто то что то не понял .
С уважением Кот Шредингера
29.02.2024
