Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами - истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Прекрасный пример этому - парадокс с днями рождения. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!
Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения. его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным - то есть в феврале может быть 29 дней - и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе - увеличивает.)
Приведенные цифры настолько неожиданны, что экспериментальная проверка их в классе или среди сослуживцев может стать отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.
Еще проще проверить парадокс, выбирая случайным образом даты рождения 24 людей из книги "Кто есть кто" или какого-нибудь другого биографического справочника. Естественно, что чем больше число имен превышает 24, тем больше вероятность совпадения. На рисунке изображен график, показывающий рост вероятности с увеличением числа людей.
В действительности даже для 23 людей вероятность совпадения по крайней мере одного дня рождения превышает 1/2 и равна 0,507... Обратите внимание, как круто поднимается ломаная примерно до числа 40 и как она выходит на плато по мере приближения к достоверности. Взяв 100 человек, вы сможете заключить пари, выигрывая в 3 299 000 случаях из 3 300 000. Конечно, абсолютная достоверность достигается лишь тогда, когда взято 366 человек.