Ответ на вопрос в заголовке кажется очевидным: потому что её "рисует" на небе солнечный свет. Свет преломляется и отражается в капельках дождя или тумана, раскладывается в спектр, вот мы и видим разноцветные полоски. Это всё верно, но такой ответ не объясняет свечение радуги на фоне неба или облаков, которые тоже рассеивают падающий на них солнечный свет.
Предлагаю сегодня рассмотреть во всех подробностях, как рождается такая красота и причём же тут катастрофы. Для этого надо внимательно проследить за путём светового луча, встречающего на своём пути капельку воды.
Вода прозрачна, но свет её "чувствует", потому что скорость света в воде на 25% меньше чем в воздухе. Из-за этого на границе капли луч света расщепляется на два луча: один отражается, а другой, преломляясь, проникает внутрь, в воду. От угла под которым луч приходит к поверхности капли, меняются как углы, так и соотношение яркостей отражённого и преломлённого лучей. Впрочем, если реалистично показывать изменения яркости лучей, то, лучи, попадающие в каплю будут практически не видны, так что дальше я сосредоточусь на геометрии.
Отражённые лучи, приходя к наблюдателю, создают рассеянный свет, благодаря которому мы видим капельки воды, как туман или дымку. В свою очередь, преломлённый луч, продолжая свой путь внутри капли, вновь повстречает границу между водой и воздухом. Там он снова раздваивается, но на этот раз один отражается и остаётся в воде, а другой преломляется и покидает каплю.
В результате многократного внутреннего отражения свет, попавший в каплю, рассеивается во все стороны. Это рассеяние неравномерно и образует несколько особенностей. Если мы построим множество лучей, то получим общую картину рассеяния света на сферической капле воды.
Эту и другие картинки я построил средствами геометрической алгебры, в которой расчёт пути луча производится очень элегантно, без громоздких вычислений и тригонометрии. Об этом есть отдельный рассказ.
Мы видим, что самая яркая область возникает сразу за каплей, где она работает, как несовершенная линза. Именно такие линзы позволили Левенгуку соорудить первые микроскопы и обнаружить в капле воды целый мир живых существ.
Особый интерес представляют красивые узоры и яркие лучи, которые расходятся из капли в сторону источника света. Эти яркие особенности называются каустиками и представляют огибающие кривые для семейств прямых линий, касательных к этим кривым. А с точки зрения волновой оптики, каустика — это геометрическое место точек, в которых происходит фокусировка волнового поля.
Для того чтобы понять, откуда берутся эти каустики, надо проследить за одним лучом по мере того, как он плавно перемещается поперёк капли.
Обратите внимание на то, как выходящие лучи меняют своё направление при приближении падающего луча к полюсу капли. Первый луч меняет угол равномерно. Второй луч, достигнув угла 42° меняет направление вращения. Третий луч совершает разворот примерно на 50°.
Для наблюдателя, каустики на одной капле будут выглядеть, как яркие блики. Блики каустик от множества маленьких капелек образуют светящиеся конусы. Эти светящиеся конусы каустик и есть источник света в радуге. Для того чтобы добавить свету цвет, надо вспомнить, про дисперсию, то есть, про то, что скорость света в среде может быть различной для разных длин волн. В случае воды разница составляет всего 0.5%, но и этой разницы достаточно для того, чтобы каустики для каждого цвета получились свои и немного сместились относительно друг друга.
Обычно наблюдатель расположен далеко от капель. Давайте взглянем на картину рассеяния существенно уменьшив масштаб:
Во-первых, мы видим, что из-за дополнительного внутреннего отражения радуги первого и второго порядка будут иметь противоположный порядок следования цветов. А во-вторых, поскольку каустики собирают все рассеянные лучи, внутрь конусов с критическими углами, внутренние части конусов будут выглядеть ярче внешних. Это объясняет появление полосы Александра — тёмного пространства между первой и второй радугами.
Имея под рукой стеклянный шар, стакан или бокал с гладкой ножкой, можно увидеть радужные каустики, формируемые одной каплей. Я сделал пару снимков, просто выйдя на улицу с бокалом подходящей формы.
Вот они, родимые, в левой части шаровидного утолщения! Внутри первичная каустика, а ближе к краю — вторичная с обратным порядком следования цветов. Ножку мы наблюдаем под углом, под которым виден только красный сегмент вторичной каустики. Поскольку я находился близко к «капле», полосу Александра на снимке не видно и порядок цветов в радуге не такой, какой виден с большого расстояния.
Имея возможность рассчитывать рассеяние света в каплях, мы можем поэкспериментировать с радугой для различных коэффициентов преломления.
Не знаю, как вам, а мне кажется, что вода рисует самую красивую радугу!
А причем же тут катастрофы?
В заглавии статьи значится слово катастрофа. Оно появилось там не только для привлечения вашего внимания. В математике есть раздел с интригующим названием: теория катастроф, которое сразу наводит на мысли об обрушении мостов, землетрясениях и прочих «чёрных лебедях», врывающихся в нашу размеренную и предсказуемую жизнь. Действительно, эта дисциплина появилась в середине XX века для исследования таких явлений и процессов, которые могут резко качественно и количественно менять своё поведение при непрерывном и плавном изменении параметров задачи.
Семейством лучей или иных многообразий можно представить некоторое гладкое отображение, характеризующее систему, а каустики формируют многообразия его особенностей в пространстве параметров системы. Каустики, таким образом, дают наглядное геометрическое представление каноническим примерам различных математических катастроф, у которых даже есть своя классификация.
При пересечении каустик происходит скачкообразное изменение состояния светового поля — меняется число лучей, приходящих в данную точку пространства.
Радугу образует каустика, соответствующая самой простой катастрофе складки, известной также, как бифуркация седло-узел. Замечательный исследователь и популяризатор теории катастроф Стивен Строгатц дал этой бифуркации красивое имя: катастрофа «синего неба».
Несколько более сложную катастрофу сборки можно наблюдать внутри нашей капли, или в чашечке с молоком, где она принимает образ каустики в форме кардиоиды.
Именно катастрофа сборки ответственна за всевозможные гистерезисы или, например, за вулканические взрывы. При этом переход системы от одного режима к другому происходит через катастрофу «синего неба».
Волны могут распространяться не только в воздухе или в воде, но и в недрах Земли. Отражения и преломления сейсмических волн позволяют нам «увидеть» как устроены недра нашей планеты, анализируя каустики, образуемые волнами на её поверхности. Каустики электромагнитных волн рисуют портреты месторождений полезных ископаемых на мониторе георадара.
Как видите, красота радуги состоит не только в раскрашивании неба или брызг фонтана, но и в объяснении её природы.
