Представление дроби в виде суммы дробей.
Предлагаю вспомнить представление дроби в виде суммы дробей на примере решения задачи № 198 из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А Теляковского.
Условие задачи:
Решение:
Допустим, что
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
В обеих частях уравнения у дробей одинаковые знаменатели, поэтому
5x – 1 = a (x – 2 ) + b ( x + 4 );
5x – 1= ax – 2a + bx + 4b.
В правой части уравнения сгруппируем первый член многочлена с третьим и вынесем за скобки множитель x. Получим
5x –1= x ( a + b ) – 2a + 4b.
Из получившегося равенства видно, что a + b = 5 и – 2a + 4b = – 1. Таким образом, надо решить систему из двух уравнений:
Из первого уравнения следует, что a = 5 – b. Подставляем значение a во второе уравнение:
– 2 ( 5 – b ) + 4b = – 1;
– 10 + 2b + 4b = – 1.
Решить это уравнение нам поможет правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
2b + 4b = – 1 + 10.
Теперь у нас с каждой стороны слагаемые с одинаковой буквенной частью, и мы можем уравнение упростить (такое упрощение называют приведением подобных слагаемых):
6b = 9;
b = 9 : 6;
b = 1,5.
Чтобы найти a, подставляем «1,5» в уравнение a = 5 – b:
a = 5 – 1,5;
a = 3,5.
Следовательно