Идея типов в "теории типов" Рассела достаточно проста и заключается в том, чтобы терминологически отделить друг от друга объекты кажущиеся одинаковыми, в смысле существования, но являющиеся, на самом деле, совершенно различными в этом смысле. Проясним суть этого на следующем примере. Рассмотрим множество всех объектов в мире и представим его в виде перечисления: s1, s2, s3, ...sN, где N - общее количество объектов (оно может быть и бесконечно). Очевидно, что если это множество всех объектов в мире, то в мире не может быть более чем N объектов. Однако если записать все возможные сочетания этих объектов (например, "s1,s2", "s4,s6,s7,s13" и т.д.) и считать их существующими объектами, то получиться 2 в степени N таких объектов, что больше N. Таким образом, записи комбинаций объектов мира, нельзя считать существующими, в том же смысле, в каком мы считаем существующими сами объекты мира, иначе мы должны будем сказать, что в мире существует больше объектов, чем в нем существует.
Ещё один любопытный парадокс - "парадокс Рассела". Суть его в следующем. Представим множество, которое, помимо других объектов, содержит в качестве элемента само себя (например, множество всех объектов, которые не являются ложками). Не трудно найти и такие множества, которые не содержат себя в качестве элемента (например, множество всех ложек, само не является ложкой). Представим теперь множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя, и попытаемся ответить на вопрос: будет ли такое множество содержать само себя в качестве элемента или нет? Предположим, что это множество не содержит в качестве элемента само себя, тогда оно не содержит всех множеств, которые не являются элементами самих себя, что противоречит условию. Пусть это множество содержит в качестве элемента само себя, тогда это множество содержит множество, которое является элементом самого себя, что также противоречит условию.
Этот парадокс ясно показывает, что множество (или класс объектов), содержащее в качестве элемента само себя, является ничего не означающей в действительности словесной конструкцией. Значит, например, множество всех объектов, которые не являются ложками, существует, в смысле отличном от существования объектов, которые не являются ложками.
Чтобы избежать подобных парадоксов, Рассел вводит понятие типа объектов (типа существования объектов). Низший (первичный) тип объединяет в один класс все действительно существующие объекты. Все прочие типы представляют классы классов, классы классов классов и т. д. объектов и являются логическими фикциями. Рассел относит числа к классам классов и считает их логическими фикциями. Например, число это множество всех чисел, а число 3 обозначает множество различных троек. Конкретная же тройка это множество. Значит число 3 - это множество множеств, а число вообще - это множество множеств множеств. Нельзя сказать, что логические фикции не существуют, но и нельзя сказать, что они являются существующими в том же смысле, в каком существуют объекты действительности. Таким образом, логические фикции выступают, как особые сущности порожденные разумом.
Вообще, Рассел придаёт особый смысл понятию "существование". Он говорит, что термин "существование" следует применять только к неизвестному (или неизвестным) Х, и не следует применим к чему-то ещё. И, говоря о существовании Х, мы всегда подразумеваем некое множество объектов, в котором определено существование этого Х (например, существует Х, такой, что Х - некий треугольник, у которого все стороны равны). Таким образом, совершенно ошибочно говорить о существовании всего и о существовании непосредственно данной, реальной вещи, потому что, в таком случае, то о чем мы говорим не является неизвестным Х и его существование не определено в каком-либо множестве. Сказать, что существует все, или существует эта реальная вещь, значит сказать нечто бессмысленное. Здесь речь не идет о том случае, когда мы имеем в виду, что вещь реальна, а не кажется таковой. В этом случае можно иначе сказать: то, что я сейчас вижу есть Х, такой, что Х - реально. Но если мы имеем в виду реальную вещь, то мы не должны говорить о ней, что она существует. Это одна из тех ошибок, которые встречаются в философии.
Примером таких ошибок, имевших место в философии, является модус Darapti в силлогизме Аристотеля. Согласно этому модусу, если все А есть В и все А есть С, то некоторые В есть С.
Рассмотрим причину ошибочности этого модуса. Для этого обратим внимание на два следующих факта:
1. Утверждение, которое говорит о некоторых объектах утверждает существование таких объектов ("рассмотрим некоторые Х, такие что Х - единороги" или "существуют Х, такие что Х - единороги"), тогда как утверждение о всех объектах, ничего не говорит о существовании этих объектов ("рассмотрим все Х, таких что Х - единороги", т. е. пустое множество объектов). Иначе говоря в понитие "все" входит и ноль.
2. Утверждение, которое говорит что-либо обо всех объектах некоторого множества является отрицанием утверждения, которое говорит о некоторых объектах этого множества, и наоборот. Проясним это. Рассмотрим утверждение "Все критяне лжецы". Это утверждение можно представить в таком виде: "для всех Х таких, что Х - критянин, верно, что Х - лжец". Отрицанием этого факта будет утверждение: "существует Х такой, что Х - критянин и Х - не является лжецом". Если бы критян не существовало, то второе утверждение было бы ложью вне зависимости от того, что в нем утверждается о критянах, тогда первое утверждение выражало бы истину, независимо от того, что утверждается о критянах, поскольку третьего не дано.
Таким образом, любое утверждение о некоторых несуществующих объектах является ложью и, в то же время, является отрицанием утверждения о всех таких объектах. Следовательно любое утверждение о множестве всех несуществующих объектов (множестве, содержащем ноль объектов), является истинным. Тогда истинным будет, например, любое утверждение о всех химерах. И тогда согласно модусу Darapti: Все химеры являются животными и все химеры извергают пламя, значит некоторые животные извергают пламя.
Лейбниц пытался построить свою логическую систему, но все время находил противоречия с модусом Darapti. Он не мог поверить в то, что этот модус ошибочен и каждый раз начинал сначала.
Продолжение в следующей статье...
Ставьте лайки, делайте комментарии и не забудьте подписаться на канал!
Источники:
Рассел Б. Философия логического атомизма. - Томск: Издательство "Водолей", 1999. - 192 с.
