Сложение дробей с разными знаменателями. Способ группировки. Решение задачи с помощью системы уравнений
Условие задачи:
При каких значениях a и b является тождеством равенство
Решение:
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
В обеих частях уравнения у дробей одинаковые знаменатели, поэтому
5x + 31 = a (x + 2 ) + b ( x – 5 );
5x + 31 = ax + 2a + bx –5b.
В правой части уравнения сгруппируем первый член многочлена с третьим и вынесем за скобки множитель x. Получим
5x + 31 = x ( a + b ) + 2a – 5b.
Из получившегося равенства видно, что a + b = 5 и 2a – 5b = 31. Таким образом, надо решить систему из двух уравнений:
Из первого уравнения следует, что a = 5 – b. Подставляем значение a во второе уравнение:
2 ( 5 – b ) – 5b = 31;
10 – 2b – 5b = 31.
Решить это уравнение нам поможет правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
– 2b – 5b = 31 – 10.
Теперь у нас с каждой стороны слагаемые с одинаковой буквенной частью, и мы можем уравнение упростить (такое упрощение называют приведением подобных слагаемых):
– 7b = 21;
b = 21 : ( – 7 );
b = – 3.
Чтобы найти a, подставляем «– 3» в уравнение a = 5 – b:
a = 5 – ( – 3 );
a = 5 + 3;
a = 8.
Ответ: a = 8, b = – 3.