Квадратные уравнения – это то, с чем сталкивается каждый учащийся в школе. Квадратные уравнения широко используются для решения различных задач по алгебре и геометрии. В этой статье будут рассказаны способы решения квадратных уравнений, в том числе, помимо тех, что изучают в школе.
«Квадратное уравнение и его виды»
Для начала стоит рассмотреть, что такое квадратное уравнение и какие виды его бывают.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Квадратное уравнение бывает:
1)Приведенным – квадратное уравнение старший коэффициент которого равен 1
x^2 + 2x + 3 = 0
Не приведенным – квадратное уравнение старший коэффициент которого не равен 1
4x^2 + 5x + 8 = 0
2)Полным – это квадратное уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
7x^2 + 4x +8 = 0
Неполным - это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
2x^2 + 8x = 0
Теперь, когда есть понимание того, что такое квадратное уравнение и какие бывают его виды, можно рассмотреть способы решения квадратных уравнений.
Основные(стандартные) способы решения полных квадратных уравнений
Стандартные способы – это те, которые чаще всего используются при решении в школе. В этом проекте за стандарт был взят Дискриминант и формула корней. Все остальные способы решения квадратных уравнений – нестандартные.
Решение квадратных уравнений через дискриминант.
Решим уравнение:
2x^2 + 5x −7 = 0
D = b^2 − 4ac
D = 25 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0
x1;2 = −b ± √D/2a
x1;2 = −5 ± √81/2 · 2
x1;2 = −5 ± 9/4
x1 = −5 + 9/4
x2 = −5 − 9/4
x1 = 4/4
x2 = −14/4
x1 = 1
x2 = −3 · 2/4
x1 = 1
x2 = −3 · 1/2
Ответ: x1 = 1; x2 = −3 · 1/2
Вывод: когда «D > 0» в квадратном уравнении два корня.
Решим уравнение :
16x^2 − 8x + 1 = 0
D = b^2 − 4ac
D = (−8)^2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0
x1;2 = −b ± √D/2a
x1;2 = − (−8) ± √0/32
x1;2 = 8 ± 0/32
x = 8/32
x = 1/4
Ответ: x = 1/4
Вывод: когда «D = 0» в квадратном уравнении один корень.
Решим уравнение : 9x^2 − 6x + 2 = 0
D = b^2 − 4ac
D = (−6)^2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D < 0
x1;2 = −b ± √D/2a
x1;2 = − (−6) ± √−36/32
Ответ: нет действительных корней
Вывод: когда «D < 0» в квадратном уравнении нет корней.
Альтернативные(нестандартные) способы решения полных квадратных уравнений
1) Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение х^2 + 10х - 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
x^2 + 10х - 24 = х^2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.
х + 12= 0 или х – 2=0
х=-12 х=2
Ответ: -12; 2.
2) Метод выделения полного квадрата двучлена.
Решим уравнение х^2 + 6х - 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат:
x^2 + 6х - 7 = х^2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)^2 - 9 - 7 = (х + 3)^2 - 16.
тогда, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)^2 - 16 =0,
(х + 3)^2 = 16.
х + 3=4 или х + 3 = -4
х1 = 1 х2 = -7
Ответ: 1; -7.
3) Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a, тогда сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
x^2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1,
x^2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1,
x^2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1,
x^2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1.
4) Решение уравнений способом «переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение
aх^2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х^2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у^2 + by + ас = 0,равносильно данному.
Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:
х1 = у1/а и х1 = у2/а.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Пример.
Решим уравнение 2х^2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
y^2 – 11у + 30 = 0.
Согласно теореме Виета
у1 = 5 , y2 = 6
Далее делим значения получившихся переменных на коэффицент, который был перенесен к свободному члену
х1 = 5/2 , x1 = 2,5
x2 = 6/2; x2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
Более подробно изучить этот способ решения квадратных уравнений можно по ссылке: https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski
5) Решение квадратного уравнения графически.
х^2 ‒ 2х ‒ 3 = 0.
1. Можно представить наше уравнение в виде х^2 = 2х + 3. Далее построим в одной системе координат графики функций у = x^2 и у = 2х + 3. График у = х^2 представлен на рисунке 1, а оба графика на рисунке 2.
Рисунок 1 https://avatars.mds.yandex.net/get-images-cbir/1007343/9zoUQw2_VikVe3MOpSdkHA772/ocr
Рисунок 2 https://avatars.mds.yandex.net/get-images-cbir/4435468/chRd4umk8CyOD_SfQud8hg808/ocr
Графики пересекаются в двух точках, наше уравнение имеет решение х = – 1 и х = 3.
6) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z^2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам
https://ds05.infourok.ru/uploads/ex/0822/000d9cb1-8d46598a/hello_html_m24ea5147.png
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из
подобия треугольников САН и CDF получим
пропорцию
https://ds05.infourok.ru/uploads/ex/0822/000d9cb1-8d46598a/hello_html_6f56ef27.png
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z^2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
https://ds05.infourok.ru/uploads/ex/0822/000d9cb1-8d46598a/hello_html_m56c2f846.png
Примеры.
1) Для уравнения z^2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис. 11).
Ответ: 8,0; 1,0.
7) Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми
Примеры.
1) Решим уравнение х^2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39»
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
https://ds05.infourok.ru/uploads/ex/0822/000d9cb1-8d46598a/hello_html_2a8ebb5a.png
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х^2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х^2 + 10х + 25. Заменяя x^2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
https://ds05.infourok.ru/uploads/ex/0822/000d9cb1-8d46598a/hello_html_m54656bd4.png
Более подробно ознакомится со геометрическим способом и способом решения с помощью номограммы можно ознакомиться по ссылке: https://infourok.ru/teoreticheskij-material-po-teme-10-sposobov-reshenij-kvadratnyh-uravnenij-4034975.html
8) Султанов метод
Решим уравнение 4х^2 +35х – 9=0
Разделим все уравнение на х и перенесем свободный член в другую часть 4х+35= 9/х
Найдем делители числа 9 ±1; ±3; ±9
Проверяем каждый из них. Быстро определяем, что подходит число -9. Это первый корень. Второй корень определяем так:
с: х1 :а -9:(-9):4=1/4
Ответ: –9; ¼
Решим уравнение 2х^2 + 21х – 11 = 0
2х + 21 = 11/х
Делители числа 11: ±1; ±11 Проверяем каждый из них. Подходит число –11. второй корень: –11:(– 11):2 = 0,5
Ответ: 0,5; –11
Итак, можно разделить способы на две группы:
1) Стандартные способы (те, который чаще всего используются при решении)
1.Решение квадратных уравнений через дискриминант
2) Альтернативные способы:
1. Разложение левой части уравнения на множители
2. Метод выделения полного квадрата двучлена
3. Решение уравнений с использованием теоремы Виета
4. Решение уравнений способом «переброски»
5. Решение квадратного уравнения графически
6. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
7. Геометрический способ решения квадратных уравнений
8. Султанов метод
Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. Некоторые способы устарели, но и они имеют место быть.
