Пример из прошлого поста с поступлением в физмат школу показателен с точки зрения того, как важно понимать текущий и целевой уровень ученика.
Для перехода на новый уровень требуется серьёзное усилие и довольно часто помощь наставника. Можно даже сказать, что необходим иной стиль мышления.
Но есть ещё один важный нюанс при переходе на новый уровень.
В течение прошлого учебного года я отсмотрел несколько популярных курсов от онлайн-школ, а также множество тематических материалов, посвященных конкретным темам из ЕГЭ и олимпиад.
Главное наблюдение состоит в том, что все они инерционные. То есть полезны только тем ученикам, которые уже работали в школе на данном уровне (причём желательно не один год) и спокойно движутся по своей колее. Таким школьникам по сути нужно просто слегка докрутить свои знания. Поэтому онлайн-школы обычно ограничиваются скромным объяснением примеров, некоторым пулом заданий на проработку, особенностями задач конкретного экзамена и нюансами оформления.
Однако, есть и другая часть учеников. Они тоже честно пытаются разобраться во всех этих заданиях. Но так как предлагаемые задачи всё-таки другого для них уровня, то они довольно быстро осознают, что все их старания бесполезны. Вроде бы преподаватель объясняет понятно, но самостоятельно решить ничего не получается.
Дело в том, что таким ученикам недостаточно просто решать текущие задания. На самом деле им нужно отступить назад и заложить базу, которая обычно подразумевается авторами курсов по умолчанию. И уже после этого решать предложенные задания.
То есть для работы на новом уровне нужно сделать один шаг назад, а после этого уже делать два шага вперёд.
Приведу несколько примеров из собственной недавней практики.
Готовимся с одиннадцатиклассницей к базовому экзамену. Ученица довольно слабая, но очень прилежная. Математику тихо ненавидит, однако при этом домашние задания честно пытается делать.
В общем, мы занимаемся типичным переходом с Нулевого уровня до Аттестационного. То есть ей нужно просто сдать базовый экзамен. По её словам тройки ей было бы достаточно. К слову, в течение года нашего с ней обучения почти все пробники она писала на стабильную тройку, но на самом экзамене она прыгнула выше головы и в итоге написала на четыре.
Как всегда в таких ситуациях трудности вызывали задачи на проценты. Причём мы не говорим про те проценты, которые возникают в текстовых задачах на концентрацию. Концентрация в базовом экзамене – это для нас был недостижимый Гуманитарный уровень (крепкая четвёрка или пятерка).
Мы учились решать задачи вроде таких (задания взяты с сайта "Распечатай и Реши"):
а) «В городе 80 000 жителей, причём 45% – это пенсионеры. Сколько пенсионеров в этом городе?»
б) «Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 240 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?»
в) «Призёрами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?»
Самый быстрый способ, конечно, переводить проценты в десятичную дробь. Но даже для целевого уровня ученицы он слишком сложный. Другой вариант – сначала научиться определять 1%, а потом находить то, что нам требуется в задаче, умножая на кол-во процентов или на 100 в зависимости от задания.
Если давать решения этих задач просто как алгоритмы, то они довольно быстро выветриваются. Ученица просто не понимает, что такое процент, зачем на что-то делить и что вообще от неё хотят.
Решение: сделать шаг назад и вернуться к базовым задачам второго класса.
Есть такой тип задач – задачи на приведение к единице. Они изучаются в середине второго класса в классической методике преподавания арифметики.
Например, посмотрим вот такую подборку задач из учебника «Арифметика. 2 класс» (Пчёлко А.С., Поляк Г.Б.):
а) «За 4 пера уплатили 20 рублей. Сколько стоило одно перо? Сколько стоили 3 таких пера?»
б) «В 6 стеклянных банок разлили 18 л молока поровну. Сколько молока в 4 банках?»
в) «15 кг мёда разлили в 5 одинаковых банок. 3 банки мёда израсходовали. Сколько килограммов мёда израсходовали?»
г) «Дима купил 2 карандаша, Андрей 5 таких же карандашей. Дима заплатил за свои карандаши 40 рублей. Сколько должен заплатить за свои карандаши Андрей?»
д) «Дедушка нёс 5 одинаковых пакетов с продуктами общим весом 15 кг. Ваня помог дедушке донести 2 пакета. Сколько килограммов нёс Ваня?»
Когда мы обратились к этим задачам, оказалось, что ученица не может решить ни одной из них. О каких процентах тогда может идти речь...
В итоге, мы прорешали эти задачи. Дальше подобные задания в начальной школе усложняются и развиваются, поэтому мы ещё и следующие схожие задачи посмотрели. Потом разобрались со смыслом дробей и что такое часть от чего-либо. И наконец, окончательно перешли к указанным выше задачам на проценты.
Кстати, я очень люблю задачи на приведение к единице. Когда мне говорят, какой, например, у Петерсон отличный учебник, как там великолепно даётся «нормальная» математика во 2 классе и в 3 классе, я просто даю этот перечень задач. Далеко не все запетерсоненные дети могут их решить...
Ещё пример проблем при обучении на другом уровне.
Ко мне обратился ученик, который планировал поступать в МГУ. Для интересующего факультета ему нужно было набрать определённое количество баллов на ДВИ.
Его уровень математической подготовки – Высокобалльный. То есть он готовился ко всем задачам на ЕГЭ и уже набрал 90+ баллов. При этом сразу сказал, что планиметрию не знает и не умеет решать, поэтому мы делали упор на другие типы задач. По ним на диагностике он показал приличный уровень.
Экзамен ДВИ МГУ, конечно, не такой структурированный как ЕГЭ, но всё же определённые типы задач повторяются из года в год. Обычно после двух первых сравнительно несложных задач нужно пробовать решать тригонометрию.
Но ДВИ МГУ – это уже Перечневый уровень. Здесь нужно не только хорошо владеть профильной программой, но пробовать в течение года хоть немного готовиться к перечневым олимпиадам. И во время нашей подготовки мы сплошь и рядом натыкались на факты и микрозадачи, которые обычным ЕГЭшным высокобалльникам неизвестны. И даже вроде бы в изначально чисто тригонометрических задачах всплывали приёмы, которые лежат вне этой темы.
Например, нужно решить вот такое уравнение:
4sin²x = sin2x + 2sinx + 5cosx + 5
После некоторых разумных тригонометрических преобразований оно может превратиться в следующее:
2sinxcosx + 2sinx + 4cos²x + 5cosx + 1 = 0
Очевидно, что в таком уравнении первым делом нужно левую часть попробовать разложить на множители. И опытный ученик, который всесторонне готовился к перечневым олимпиадам, даже понимает, как именно мы будем это делать.
Действительно, нужно сначала сгруппировать первые два слагаемых (на это намекает коэффициент 2 перед ними) и посмотреть на оставшиеся три слагаемых. И тут нужно додуматься разбить слагаемое 5cosx на сумму 4cosx и cosx.
Но как до этого догадаться?
Дело в том, что в 7 классе школьников в сильном профильном классе учат раскладывать на множители на примере вот таких выражений:
а) x² + 3x + 2 = x² + x + 2x + 2 = x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x+2);
б) x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x+3);
в) x² - 6x - 7 = x² - 7x + x - 7 = x(x-7) + (x-7) = (x-7)(x+1);
Потом разбиения усложняются и школьники решают вот такие задачи:
г) x³ - 4x + 3 = x³ - x - 3x + 3 = x(x²-1) - 3(x-1) = x(x²-1) - 3(x-1) = x(x-1)(x+1) - 3(x-1) = (x-1)(x(x+1)-3) = (x-1)(x²+x-3)
или подобные им.
То есть у этих учеников такие примеры и разбиения записаны на подкорку.
Наоборот, если попросить разложить на множители эти же выражения того, кто застрял на Высокобалльном уровне, то первые три трёхчлена он разложит через нахождение корней, а последнее может и вовсе не разложить.
И если подобный подход ещё работает для скромных задач, где явно просят разложить на множители, то уже более сложные задания (вроде указанного выше уравнения) требуют стабильного навыка разбиения слагаемых в любой ситуации.
Кстати, в исходной задаче можно было выполнить и другие тригонометрические преобразования. Но они так же в конечном итоге будут требовать разложения на множители с обязательным промежуточным разбиением слагаемого.
Вообще, тема разложения на множители часто является ахиллесовой пятой при переходе на Перечневый уровень. Обратите внимание, что ученик набравший сто баллов на ЕГЭ может вовсе не знать, как разложить на множители, например, разность кубов. В банке ФИПИ и в реальных вариантах просто нет заданий, использующих этот факт. Не говоря уже про другие, более содержательные конструкции для разложения на множители...
С тем же учеником на том же занятии мы столкнулись с такой подзадачей.
Он нашёл, что решением одного тригонометрического уравнения являются серии корней: π/6 + 2πn и π/6 + 2πn/3. Вопрос: можно ли как-то красиво записать вместе эти серии и что в таком случае будет их объединением? Заодно можно сформулировать дополнительный вопрос: а что является пересечением серий?
Если просто решать тригонометрию на ЕГЭ, то кроме отбора корней там нет никакой особой работы над сериями решений.
Но чтобы нормально решать подобные задачи объединения серий нужно где-то в 8-9 классе хорошенько проработать тему с последовательностями и для начала отвечать на те же вопросы для последовательностей вида, например, 1 + 3n и 1+15n. А ещё лучше как-то увязать это с делимостью и остатками по модулю.
И, наконец, последний пример.
Другой ученик попросил помочь с переходом на Олимпиадный уровень. Вроде стандартные вступительные олимпиады он решал, но ему хотелось побороться хотя бы за призёра Регионального этапа Всероссийской олимпиады.
Начать он планировал с геометрии. Но за какие бы боевые задачи мы не брались, всё равно не удавалось даже приступить к ним. Нужен другой уровень рассуждений.
В итоге я ему посоветовал снова сделать шаг назад и начать с 7 класса. Точнее с курсов дополнительной геометрии Сириуса. Потренироваться хотя бы для начала перекладывать отрезки, треугольники или площади. А уже после трёх пройденных курсов (за 7, 8 и 9 классы – это огромная работа с решением кучи разнородных геометрических задач) приступать к изучению серьёзной геометрии.
В общем, правило «Шаг назад, два вперёд» является ключевым для перехода на новый уровень. Всегда нужно будет отойти на пару классов назад и системно дозаложить ту часть фундамента, которая была упущена.
А самим учениками необходимо осознать следующее.
Не нужно думать, что такое движение назад ниже вашего достоинства. Нет ничего страшного, чтобы временно спуститься в седьмой, пятый или даже во второй класс, чтобы разобраться с какими-то упущенными ключевыми концептами.
Наоборот, это облегчит вам жизнь и станет важным кирпичиком вашей подготовки.
