Методика расчёта переходного режима гидравлической схемы замещения пневматической системы с 2-мя шар-баллонами

Дугинов Л.А. L.duginov@mail.ru

Ключевые слова: пневматические системы, гидравлические схемы с шар-баллонами, методика гидравлического расчёта, нелинейные цепи, гидравлическая схема замещения.

Введение

Данная статья посвящена описанию нового метода расчёта переходного режима гидравлической схемы замещения пневматической системы, имеющей один или несколько ёмкостей в виде шар-баллонов постоянного объема, соединенных между собой. Такие задачи обычно решаются путём составления математической модели, которая представляет систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих изменения давления и температуры газа в емкостях, и уравнения расхода в условных сопротивлениях по формуле Сен-Венана и Ванцеля. Математическая модель также включает в себя начальные условия, описывающие состояние системы в начальный момент времени, и конечные условия, представляющие условия окончания счета. Новый метод расчёта переходного режима гидравлической схемы замещения пневматической системы предлагает следующее:

1. Замену системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка на систему линейных алгебраических уравнений. Принцип образования таких систем будет показан ниже.
2. Включение в гидравлическую схему замещения пневматической системы дополнительных ветвей, каждая из которых состоит из линейного сопротивления Ai и источника давления Pi. Эти ветви моделируют процесс образования давления в шар-баллонах на каждом итерационном шаге. Более подробная информация показана ниже.
3. Процесс решения задачи расчёта переходного режима выполняется
   путём выполнения ряда итераций до выполнения условий окончания счета.

Описание расчётной пневматической сети

Рис. 1 Пневматическая цепь и гидравлическая схема замещения цепи

Описание элементов гидравлической схемы замещения

Линейные сопротивления и источники давления

1. A1-сопротивление входа в шар-баллон Wb1
2. A2-сопротивление выхода из шар-баллона Wb1
3. A3-сопротивление поворота на 90 градусов в трубке, соединяющей шары-баллоны Wb1 и Wb2
4. A4-сопротивление входа в шар-баллон Wb2
5. A5-сопротивление выхода из шар-баллона Wb2
6. Aw6-сопротивление "ёмкости" шар-баллона Wb1
7. Aw7-сопротивление "ёмкости" шар-баллона Wb2

Источники давления

1. P6, P7 - соответственно давления в шар-баллонах Wb1 и Wb2
2. Po - атмосферное давление. ( Po=1.01325*10^5 Па)
3. F1-F5 - расчётное давление в узлах схемы замещения 1-5.

Принцип образования системы линейных алгебраических уравнений

Любая гидравлическая схема может быть описана (по аналогии с электрическими схемами) системой уравнений:

Такая система, как известно, является нелинейной, поэтому применение таких методов расчёта как метод контурных расходов или метод узловых потенциалов, выведенных на базе 2-х законов Кирхгофа (по аналогии с электрическими схемами), не представляется возможным. Поэтому, естественно возникает задача каким-то образам систему нелинейных уравнения заменить на систему линейных уравнений. Были многочисленные попытки решить эту задачу, и наконец в 1975 году в журнале "Электротехника" №12 выходит статья, в которой приводится итерационная формула (выведенная автором данной статьи), которая позволяет решить эту задачу применительно к каждому элементарному участку схемы. Формула показывает как по известной величине квадратичного сопротивления Ao и падения напора на нём DH рассчитать величину эквивалентного линейного сопротивления AL:

Далее, следует указать, что формулы (1-2) используются во всех последующих итераций, начиная со второй, в качестве итерационной формулы. Для 1-й итерации применяется формула: AL=Ao*qo, где qo-заданный начальный расход (как правило, достаточно принять. что qo=1, т.е. численно приравнять AL=Ao).

Формулы (1) и (2) выводятся из системы уравнений:

В результате многолетнего опыта расчётов гидравлических схем по данному методу выявлены следующие основные преимущества по сравнению со старыми и современными методиками расчётов гидравлических схем:

1. Исчезли ограничения для задания исходных данных (расходов qi по ветвям) для 1-й итерации, так как величины исходных данных не влияют на конечный результат расчёта.
2. Высокая стабильность итерационного процесса, которую не могут нарушить ни включение регуляторов расхода или давления, ни изменения величины сопротивлений или давлений в процессе расчёта.
3. Предельная простота математического аппарата, необходимого для выполнения расчётов по данному методу. Это значительно расширяет круг расчётчиков гидравлических схем любой сложности.

До сих пор речь шла о выполнении гидравлических расчётов для стационарного режиме. Естественно, имея такой мощный инструмент для решения гидравлических задач, возникла идея использовать его при расчёте гидравлических цепей в переходном режиме. Данная статья является попыткой решения этой задачи.

Методика расчёта переходного режима гидравлической схемы замещения пневматической системы

При расчёте переходного режима всё время процесса разбивают на элементарные отрезки (dt, сек). В течении каждого отрезка времени (dt) в баллон поступает воздух, масса которого равна: m=(Q1-q2)*dt (см.рис.2). Но для того, чтобы организовать поступление свежей порции воздуха, необходимо преодолеть давление воздуха (P6) уже находящегося в баллоне. Таким образом возникает гидравлическое сопротивление (Aw6) потоку (q6) , величина которого рассчитывается по формуле (5). Для моделирования данного переходного процесса предлагается включить в гидравлическую схему замещения дополнительные ветви, каждая из которых состоит из линейного сопротивления Aw6 и источника давления P6. Эти ветви в ходе расчёта должны моделировать процесс образования давления P6 в шар-баллонах на каждом итерационном шаге.
Рис.2 Узел подключения дополнительной ветви Aw6 к узлу F2

Рассмотрим переходной режим на примере рис.2. Так как давление F2 в подключаемом узле схемы в начальный момент всегда выше чем P6, то через дополнительную ветвь начинает проходить расход q6 равный: q6=(F2-P6)/Aw6 Падение давления( dP6) на сопротивлении Aw6 равное: dP6=q6*Aw6 показывает на сколько Па увеличилась (или уменьшилась) величина давления P6 за данный выбранный шаг времени dt при известных значениях объёма Wb1 шар-баллона и температуре воздуха T6 в нём. При этом величины теплофизических свойств воздуха (показателя адиабаты и газовой постоянной Rgaz ) также будут учитываться в предлагаемой формуле:

Алгоритм и особенности расчёта переходного режима гидравлической схемы замещения пневматической системы с шар-баллонами

Рис.3 схема замещения пневматической системы с шар-баллонами

В соответствии с объявленным выше принципом образования системы линейных алгебраических уравнений гидравлические сопротивления AL2,AL5,Aw6 и Aw7 рассчитываются как линейные, а сопротивления A1,A3 и A4 - как квадратичные, которые затем переводятся в линейные. Для удобства ознакомления с особенностями расчёта переходного режима на рис.3 показана схема замещения пневматической системы с 2-мя баллонами, взятая из рис.1. На этой схеме сопротивления AL2 и AL5 в программе должны рассчитываться как линейные сопротивления выхода воздуха из баллонов Wb1 и Wb2 по формулам:

Для расчёта линейных сопротивлений AL2 и AL5 необходимо пройти процедуру расчёта по формулам (8-14), в том числе:

Изменение давления в шар-баллонах Wb1 и Wb2 за время dt:

Изменение температуры в шар-баллонах Wb1 и Wb2 за время dt:

Расход воздуха из шар-баллонов Wb1 и Wb2 за время dt:

Расчёт давлений P6, P7 и температур T6,T7 воздуха в шар-баллонах Wb1 и Wb2 за время dt:

где: P6(i+1)=P6i+dPA6, P7(i+1)=P7i+dPA7, PA6=F3, PA7=Po (14)
T6(i+1)=T6i+dTA6, T7(i+1)=T7i+dTA7 i - номер итерации

Расчёт квадратичных A1, и линейных сопротивлений AL1=A1Lvx

Расчёт квадратичных A3 и линейных сопротивлений AL3=A3Ltrb

Расчёт квадратичных A4 и линейных сопротивлений AL4=A4Lvx

По данным, приведённом ниже (в приложении) был выполнен на Mathcad гидравлический расчёт переходного режима с определением давлений воздуха P6 и P7, а также температур воздуха Т6 и Т7 в шар-баллонах Wb1 и Wb2. Результаты расчёта приведены на рис.4 и рис.5

Рис. 4

Рис.5

Выводы

1. Расчёт переходного режима гидравлической пневматической системы с шар-баллонами можно проводить по схеме замещения с нелинейными сопротивлениями, используя вместо системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка- систему эквивалентных линейных уравнений.
2. Новая методика расчёта (в отличии от старой) не имеет серьёзных ограничений при задании начальных расходов для 1-й итерации.
3. Простота математического аппарата, используемого в новой методике расчёта, не снижает уровень и сложность решаемых задач.
4. Существует возможность численно проверить правильность решения задачи, используя аналогии 2-х законов Кирхгофа.

Приложение

Распечатка начала расчёта на Mathcad переходного режима гидравлической схемы замещения пневматической системы с 2-мя шар-баллонами

Матрицы: Msx -левая часть системы уравнений, описание расположения линейных проводимостей по методу узловых давлений, Vsx- правая часть системы уравнений, описание расположения источников давления. Расчёт величины давлений F1-F5 и расходов q1-q7 в ветвях схемы замещения.

Список литературы

1. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., Международный журнал ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
2. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Расчёт переходных процессов в гидравлических цепях, содержащих ёмкости с заданным объёмом.,Международный журнал ТПА,-2020. -№6 (111).-50c.
3. Дугинов Л. А., Шифрин В. Л. и др. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
4. Дьяконов В.П. Mathcad8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» М.; СОЛОН-Пресс, 2005