Тригонометрическая форма записи комплексного числа является альтернативной канонической алгебраической форме
где действительная и мнимая части записываются отдельно. Обе формы записи эквивалентны и могут быть использованы в зависимости от конкретной задачи и удобства вычислений.
Комплексное число может быть записано в тригонометрической форме, используя модуль и аргумент числа. Форма записи комплексного числа в тригонометрической форме выглядит следующим образом:
Модуль комплексного числа r вычисляется как:
где а=Re(z) - действительная часть числа, b=Im(z) - мнимая часть числа.
Аргумент комплексного числа удобно вычислять используя схему:
Величина аргумента зависит от того в какой четверти комплексной плоскости находится радиус-вектор, изображающий исходное комплексное число в алгебраической форме.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа позволяет представить его в виде модуля и аргумента числа:
- Аргумент комплексного числа представляет угол, под которым комплексное число z можно интерпретировать как радиус-вектор;
- Модуль числа r представляет длину этого вектора.
Таким образом, зная модуль и аргумент числа, можно легко вычислить его координаты на комплексной плоскости.
Рассмотрим примеры нахождения тригонометрической формы комплексных чисел: даны четыре комплексных числа в алгебраической форме и «живущие» в разных четвертях комплексной плоскости
Получим для каждого из них тригонометрическую форму:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа может быть полезной в различных ситуациях. Например, когда требуется выполнить операции над комплексными числами, такие как умножение и деление, тригонометрическая форма упрощает эти вычисления. В этих операциях модули чисел перемножаются или делятся, и аргументы складываются или вычитаются. Также тригонометрическая форма позволяет легко возводить комплексные числа в любую действительную степень и находить корни комплексного числа - данные операции рассмотрим в следующих материалах.
Кроме того, тригонометрическая форма полезна при решении задач, связанных с перемещением точек по комплексной плоскости. Аргумент числа представляет угол, под которым комплексное число интерпретируется как вектор, а его модуль представляет длину этого вектора. Зная модуль и аргумент числа, можно легко вычислить его координаты на комплексной плоскости.
Далее, рассмотрим операции умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме.
Есть вопросы? Пожелания? Обращайтесь - контакты для связи