На что похожа алгебра, в которой есть несколько ненулевых корней из нуля? Как можно вычислять целые пространства? А как и их помощью рисовать красивые картинки?
Продолжаем серию статей про геометрические алгебры. Мы начали со знакомства с алгебрами Клиффорда, в которых к вещественным числам добавлены элементами, названные нами "квадратными корнями" из –1, 0 и 1.
В прошлой статье мы взглянули на алгебры Клиффорда с несколькими различными мнимыми единицами (корнями из –1) и получили кватернионы, пригодные для представления поворотов в пространстве. Однако, в мире геометрических алгебр важную роль играют и те, в которых есть корни из нуля. В серии "Изобретаем числа" мы уже знакомились с числовыми системами в которых есть исчезающий элемент — с дуальными числами. Они оказались способны вычислять производные и производить вычисления с погрешностями.
Давайте выясним что могут дать алгебре два таких элемента. Рассмотрим алгебру Cl(0,2,0), в которой оба генерирующих элемента исчезают при возведении в квадрат: e₁² = e₂² = 0. Естественно, их произведение, элемент второго ранга, e₁₂ тоже будет элементом такого рода. Если мы выпишем таблицу умножения для базисных элементов, то увидим, что почти вся она заполнена нулями.
Что же интересного может быть в такой "пустой" алгебре? Для придания ей смысла мы обратимся к геометрии. Давайте вычислим общий вид произведения двух однородных элементов первого ранга:
Если воспринимать генераторы e₁ и e₂ как пару ортогональных векторов, то их клиффордово произведение совпадёт со знакомым векторным произведением. При этом в привычной трёхмерной евклидовой геометрии элемент e₁₂ будет соответствовать вектору, ортогональному и e₁ и e₂. Но в таком случае, произведение e₁₂ и e₁ должно дать вектор, ортогональный им обоим, однако в нашей алгебре это произведение обращается в ноль. Так что элемент e₁₂, всë-таки не вектор, а клиффордово произведение не векторное. Но что же это такое?
Ноль — олицетворение пустоты. В геометрии пустота, как вместилище точек представляет собой интересный и нетривиальный объект — пространство.
Из чего состоят пространства?
Как известно, евклидово пространство содержит подпространства различной размерности. Точка образует подпространство нулевой размерности, прямая этот подпространство размерности 1, плоскость это двумерное подпространство и так далее. При этом подпространства, размерности больше нуля можно строить с помощью независимых базисных векторов, выражая элементы подпространств в форме их линейных комбинаций. Однако, если попытаться построить двумерное подпространство из двух коллинеарных векторов, то любую точку можно будет отождествить с нулевой точкой, ведь нетривиальную линейную комбинацию в таком базисе всегда можно обратить в ноль. Таким образом коллинеарные векторы образуют пространство, эквивалентное нульмерному пространству.
Если интерпретировать элементы e₁, e₂ и e₁₂ алгебры Cl(0,2,0), не как векторы, а как подпространства "натянутые" на эти векторы, то вот какая картина получается:
- Единичный элемент 1 соответствует нульмерному пространству.
- Каждый элемент первого ранга представляет некоторое одномерное пространство, причём независимое от других элементов первого ранга.
- Элемент второго ранга e₁₂ следует воспринимать, как двумерное пространство, базисом которого являются e₁ и e₂. Это уже не вектор, а целая плоскость!
Обычно, во введениях в геометрические алгебры рисуют что-то такое:
Но вместо векторов и площадок следует представлять целые пространства: прямые и плоскости, которые образуют эти векторы и площадки. Кроме того, все эти пространства должны содержать общую точку. Таким образом, правильная иллюстрация должна быть такой:
Это даёт нам точную интерпретацию для операции клиффордова умножения в алгебре Cl(0,2,0), как построения пространства из пространств более низкой размерности. Это хорошо известная геометрам операция внешнего произведения. Таким образом, пространство размерности 2 является внешним произведением двух независимых одномерных пространств.
Внешнее произведение — это очень важная операция в геометрической алгебре. Для неё введено обозначение, совпадающее с логической операцией И:
Это совпадение не случайно и связано с тем, что эта операция играет одинаковую роль в разных категориях: конъюнкции в булевой алгебре, прогрессивного произведения в теории порядков, внешнего произведения в геометрии и теории множеств.
Основные свойства внешнего произведения такие:
Как измерять пространства?
Для подпространств различной размерности можно вести меру: длину, площадь, объём и т.д. Внешнее произведение благодаря линейности отлично согласуется с этими мерами. У прямой линии, в отличие от отрезка, длины нет, она бесконечна, но мы можем использовать длину базисного вектора, который эту прямую определяет в качестве меры длины на ней, то есть, своеобразной линейки. Внешнее произведение двух прямых с такими линейками будет плоскостью, а мерой площади на ней будет площадь параллелограмма, образованного базисными векторами. Также мерой трёхмерного пространства может быть объём скошенного параллелепипеда со сторонами — базисными векторами, и так далее. При этом возникает вопрос интерпретации знака этой меры: мы видели, что внешнее произведение бывает как положительным, так и отрицательным. Но об этом мы поговорим чуть ниже, это интересная тема.
Такой подход и приводит нас к главному свойству внешнего произведения, быть равным нулю для пространств, имеющих общее подпространство, потому что в этом случае становится равной нулю мера результата.
Действительно, два коллинеарных вектора образуют вырожденный параллелограмм с нулевой площадью. И параллелепипед, построенный из площадки и принадлежащего ей вектора тоже будет иметь нулевую меру. А поскольку любое ненулевое пространство можно представить в виде внешнего произведения нескольких одномерных базисных пространств, то получается, что два пространства могут образовать внешнее произведение только если среди их базисных векторов нет совпадающих или коллинеарных.
Пространства с операцией внешнего произведения образуют внешние алгебры или алгебры Грассмана. Они используются и за пределами геометрии, например, в теории графов. Нетрудно показать, что любая алгебра Клиффорда, в которой всё элементы в квадрате равны нулю, будут эквивалентны алгебре Грассмана того же порядка.
Две алгебры по цене одной
Структура конечной алгебры Грассмана имеет очевидную симметрию. В алгебре с 2ⁿ элементами есть один элемент нулевого ранга и один элемент n-ного ранга, по n элементов первого и (n – 1) рангов, по C(2,n) элементов ранга 2 и n – 2, и так далее.
Эта симметрия носит комбинаторную природу, однако имеет глубокую геометрическую интерпретацию.
Единичный элемент это точка — пространство низшей размерности. Никаких определённых координат у этой точки нет, так что мы можем воспринимать её как некую выделенную точку — начало координат, которую будут содержать всё прочие подпространства. Элемент наивысшего ранга — это пространство максимальной размерности, вмещающее геометрию. Оно, как и начало координат единственное.
В n-мерной геометрии можно выделить n независимых одномерных пространств — прямых. С другой стороны, существует n пространств, ортогональных этим прямым.
Например, в трёхмерном пространстве каждой прямой, можно сопоставить ортогональную ей плоскость, единственную, если и прямая и плоскость, должны содержать начало координат. В двумерной геометрии ортогональным пространством к прямой будет другая прямая.
Такие ортогональные пространства, построенные с помощью всех возможных независимых компонент называются дополнением друг друга. Внешнее произведение любого пространства и его дополнения всегда равно пространству максимальной размерности.
В геометрической алгебре принято называть единичный элемент скаляром, а элемент максимальной размерности — псевдоскаляром. Внешнее произведение скаляра на любой элемент просто меняет его меру, тогда как псевдоскаляр при внешнем умножении превращает в ноль любой элемент алгебры.
Для дополнения элемента x мы будем использовать такое обозначение: x̄. Если воспользоваться таким обозначением, то элементы внешней алгебры Cl(0,2,0) можно симметрично представить так:
ведь элемент e₂ — это дополнение элемента e₁ до e₁₂. Базисом алгебры Cl(0,3,0) будут такие восемь элементов:
Симметрия между пространствами и дополнениями к ним приводит к тому, что любую внешнюю алгебру можно "вывернуть на изнанку", заменив пространства их дополнениями, а внешнее умножение заменив на двойственную операцию регрессивного умножения:
Такая внешняя алгебра называется двойственной. Принцип двойственности, часто встречается в математике и играет важную роль в проективной геометрии и геометрической алгебре. Недавно я рассказывал о красоте двойственности в этой статье. Мы ещё не раз будем использовать и этот принцип и эти две операции, которые в геометрической алгебре носят имя пересечения (meet) (∧) и соединения (join) (∨).
* * *
Завершим мы эту статью несложным примером геометрических вычислений. На этот раз мы продемонстрируем упомянутую выше двойственность, присущую геометрическим алгебрам на примере теоремы Менелая и теоремы Чевы.
Теорема Менелая для гласит:
Три точки A', B' и C' лежащие на разных сторонах треугольника ABC лежат на одной прямой тогда, когда выполняется следущее отношение для длин отрезков:
Вот соответствующие программа и чертёж.
Одновременная замена прямая ⟷ точка, и пересекаться ⟷ соединять приводит к теореме Чевы, двойственной теореме Менелая:
Три прямые A', B' и C', соединяющие вершины треугольника abc с точками A B и C на противолежащих сторонах, проходят через одну точку тогда, когда выполняется следущее отношение для длин отрезков:
Получить чертёж для двойственной теоремы можно применив ко всему элементам чертежа оператор дополнения:
И немножко красоты! Вот как выглядит семейство прямых, двойственное регулярной квадратной решётке в двумерном проективном пространстве: