В связи с развитием алгебры, математикам потребовалось ввести сверх уже известных положительных и отрицательных чисел, числа нового рода - комплексные числа.
Комплексные числа — это расширение множества вещественных чисел
Итальянский математик Кардано в середине 16-ого века при решении кубических уравнений (хотя они возникают в математике уже при решения квадратных уравнений) ввел квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел он назвал софистическими (т.е. мудреными).
Французский математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел термин - мнимые числа, которое применяется по сей день.
В противоположность мнимым числам известные ранее числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными.
Сумма действительной и мнимой части есть комплексное число. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году. Сейчас данная форма записи называется алгебраической формой комплексного числа
Мнимая часть комплексного числа умножается на мнимую единицу - i, которая удовлетворяет соотношению
Примеры комплексных чисел в алгебраической форме записи
Комплексные числа можно изображать на числовой плоскости. Для этого выбираем на плоскости прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом на обеих осях. Это комплексная плоскость, в которой вещественная ось — это горизонтальная ось абсцисс, а мнимая ось — это вертикальная ось ординат.
Комплексное число (a + b·i) изображается точкой на комплексной плоскости, где действительная часть a комплексного числа откладывается по горизонтальной оси, а мнимая b – по вертикальной оси координатной плоскости.
Таким образом, число (2+3i) представляется точкой с координатами (2,3)
а число (-7i ) - точкой с координатами (0,-7)
Модуль комплексного числа
Важным понятием в теории комплексных чисел является модуль комплексного числа. Модуль комплексного числа - длина радиус-вектора, изображающего комплексное число.
Модуль любого комплексного числа, не равного нулю – это есть положительное число (поскольку это длина вектора). Модуль комплексного числа (a + i·b) обозначается |a + i·b|, а также буквой r
Модуль равен квадратному корню из суммы квадратов действительной и мнимой частей. Модуль используется для определения расстояния между комплексными числами и позволяет изучать геометрию комплексных чисел на плоскости.
Сопряженные комплексные числа
Комплексные числа называются сопряженными если их действительные части равны, а мнимые равны по модулю, но противоположны по знаку
Например, изобразим число
на чертеже
Сопряженные комплексные числа (a + i·b) и (a - i·b) имеют один и тот же модуль.
Далее, рассмотрим операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме.
Есть вопросы? Пожелания? Обращайтесь - контакты для связи