Задача: Сторона квадрата равна 1. Через его центр провели произвольную прямую. Найдите сумму квадратов расстояний от вершин квадрата до этой прямой.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Данную задачу можно решить без тригонометрических знаний, но поскольку мы проходим курс тригонометрии, то воспользуемся ей.
Разберём 2 возможных случая:
1. Прямая проходит через 2 противоположной вершины.
2. Прямая проходит через 2 противоположной стороны.
СЛУЧАЙ №1
Прямая проходит через 2 противоположной вершины, поэтому суммой квадратов расстояний от вершин квадрата до этой прямой будет являться сумма квадратов половин диагоналей квадрата (см рисунок).
AO = AB * cos 45° = √2/2. CO = CD * cos 45° = √2/2. Тогда AO^2 + CO^2 = 2 * (√2/2)^2 = 1.
Ответ: 1.
СЛУЧАЙ №2
Поскольку прямая ML проходит через центр квадрата, то она пересекает центры диагоналей AC и BD ⇒ BM = DL и AK = CN ⇒ BM^2 + AK^2 + CN^2 + DL^2 = 2(BM^2 + AK^2). Также стоит отметить, что BM ∥ AK ∥ CN ∥ DL, поскольку все данные отрезки перпендикулярны одной и той же прямой ML.
Пусть ∠BAK = α, тогда ∠MBA = α, так как ∠BAK = ∠MBA как накрест лежащие при пересечении параллельных AK и BM с секущей AB.
В △BMO: BM = BO * cos(∠MBO) = √2/2 * cos(α + 45°). Вспомним формулу косинуса суммы и разности двух углов: cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) sin(β); cos(α - β) = cos(α) * cos(β) + sin(α) sin(β). ⇒ BM = √2/2 * cos(α + 45°) = √2/2 * (√2/2 * cos α - √2/2 * sin α) = 1/2 * (cos α - sin α).
В △OKA: AK = AO * cos(45° - α) = √2/2 * (√2/2 * cos α + √2/2 * sin α) = 1/2 * (cos α + sin α).
Нам известны высоты, теперь найдем сумму их квадратов:
2(BM^2 + AK^2) = 2 * ((1/2 * (cos α - sin α))^2 + (1/2 * (cos α + sin α))^2) = 2 * (1/4 * ((cos α - sin α)^2 +(cos α + sin α)^2) = 1/2 * (cos^2 α - 2 * cos α * sin α + sin^2 α + cos^2 α + 2 * cos α * sin α + sin^2 α) = 1/2 * (2cos^2 α + 2sin^2 α) = cos^2 α + sin^2 α = 1.
Основное тригонометрическое тождество: cos^2 α + sin^2 α = 1.
Ответ: 1.
Таким образом, в обоих случаях ответ равен 1.
Задача решена.