Часто возникает задача аппроксимации различных зависимостей заданными функциями. Наиболее универсальным методом аппроксимации является метод наименьших квадратов (МНК).
Постановка задачи
Допустим, необходимо аппроксимировать методом наименьших квадратов полученную (см. рисунок) зависимость с периодом 2(Пи).
Для нахождения решения недостаточно будет задать функцию синуса или косинуса (y = Asin(x) или y = Acos(x)), так как видно, что амплитуда зависимости несимметрична относительно оси абсцисс (ось Х). Грубо говоря, зависимость сдвинута "вверх". Также не определена начальная фаза.
Поиск решения
Одним из возможных и красивых решений будет применение Тригонометрического ряда Фурье с целью описания нашей зависимости. Так как, очевидно, функция имеет только одну гармонику, а период равен 2(Пи), то применение тригонометрического ряда Фурье напрашивается само собой.
Сначала необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений S (применяем МНК). Для этого определяем частные производные уравнения S по неизвестным коэффициентам и приравниваем полученные уравнения частных производных к нулю.
Дальнейшее решение сводится к нахождению неизвестных коэффициентов уравнения (в данном случае их три - а0, а1 и а2) посредством решения системы алгебраических линейных уравнения (СЛАУ).
Обратим внимание, что коэффициент а0 - это не что иное, как некое значение, на которое "поднята" наша зависимость над осью Х.
Решить СЛАУ можно различными известными способами:
- методом Крамера
- методом Гаусса
- матричным методом
- а также многими другими
Какой из способов выбрать - решать Вам. Для простоты и оперативности решения систем уравнений также всегда можно воспользоваться готовыми программными решениями, которые на данном этапе технического развития человечества можно найти, например, в сети "Интернет".
Результаты и их графическое представление
Решение системы уравнений со значениями, представленными в предыдущей галереи, даёт нам следующие значения искомых коэффициентов:
Подставив полученные значения в заданную функцию, можно смело аппроксимироваться исходную зависимость с получением следующего результата.
Заключение
Таким образом, нам удалось описать (аппроксимировать) заданную "экспериментальными" точками зависимость. Для этого мы воспользовались тригонометрическим рядом Фурье (заданная аппроксимирующая функция) и применили метод наименьших квадратов с целью нахождения коэффициентов нашей аппроксимирующей функции.
- Спасибо Вам за уделённое время! Дальше - больше и интереснее.
Смотрите также: