В этой статье рассматриваются сверхсветовые сигналы в той части двумерного пространства-времени на диаграмме Минковского, которая одновременно является зоной будущего для одной ИСО и зоной прошлого для другой. Эта зона является основной зоной, в которой формируются причинные парадоксы при общепринятом традиционном подходе в СТО к их рассмотрению. Мы показываем, что при внимательном рассмотрении особенностей движения сверхсветовых сигналов в этой зоне причинные парадоксы исчезают.
Эта моя статья является шестой из изложенных в моей монографии «Причинные «парадоксы» в специальной теории относительности (краткая история и описание, решение)». По сути, эта статья есть продолжение рассмотрения парадоксов типа парадокса Эренфеста, уже рассмотренного в пятой статье «Причинный парадокс в описании Эренфеста» указанной монографии.
Сверхсветовые сигналы в пространственно-временной зоне Эйнштейна-Эренфеста.
Впервые обратил внимание на наличие причинных парадоксов при сверхсветовом движении А. Эйнштейн в работах 1 - 3. Впоследствии, П. Эренфест 8, полемизируя с В.С. Игнатовским, в своей небольшой заметке рассмотрел движение сверхсветового сигнала, направленного встречно движению инерциальных систем отсчета (ИСО) друг относительно друга. При этом, П. Эренфест для доказательства своей правоты и правоты А. Эйнштейна выбрал такое направление движения сверхсветового сигнала, при котором этот сигнал оказался в пространственно-временной зоне, характеризуемой неоднозначно. Эта зона оказалась как зоной будущего для движущейся ИСО, так и зоной прошлого для неподвижной ИСО. Такая неоднозначность при тогдашнем ее осмыслении и обусловила появление причинного парадокса, при помощи которого П. Эренфест убедил тогда научную общественность в правоте А. Эйнштейна и в своей. Поскольку эта часть пространства-времени при традиционном подходе в СТО формирует причинный парадокс, который оказался наиболее сложным при его рассмотрении и решении, а также, отдавая дань истории введения этой части пространства-времени в науку, мы называем ее пространственно-временной зоной Эйнштейна-Эренфеста, также и в память этих двух ученых.
Рассмотрим еще раз пример, приведенный П. Эренфестом (см. Рис. 1).
Два сверхсветовых сигнала, τʹ‹ и - τʹ‹, отправленные одновременно наблюдателем движущейся ИСО из точки А в момент его нахождения там, движутся с одинаковой по величине скоростью uʹ‹ в противоположных направлениях (см. рис. ниже). Знак ‹ указывает, что скорость этих сигналов меньше скорости сигнала, которую он мог бы иметь, если бы был отправлен по прямой хʹ, под углом β к оси хʹ, углом, равным углу βₓ поворота пространственной оси досветовой движущейся ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ], имеющей скорость v относительно неподвижной ИСО S[X, ct]. В силу одинаковости сигналов по величине, оба они имеют одинаковые углы наклона α‹ = α₋‹ относительно оси времени ct, а также одинаковые углы (см. равенство (1) ниже) наклона к пространственной оси хʹ движущейся ИСО.
Сигнал – τʹ‹, отправленный в сторону, противоположную направлению движения ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ], попадает в красную зону несоблюдения причинной связи, с точки зрения наблюдателя ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ], да и наблюдателя неподвижной ИСО S[X, ct] также.
Вопрос, который мы хотим исследовать, заключается в следующем: когда наблюдатель движущейся ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] отправлял сигнал – τʹ‹, он отправлял его, в традиционном понимании СТО, в зону своего будущего, так как этот сигнал проходит над его пространственной осью хʹ. Поэтому сигнал для этого наблюдателя имеет все физические основания, опять-таки при традиционном понимании СТО, быть отправленным. Но, с другой стороны, для наблюдателя неподвижной ИСО, такой сигнал сразу же уходит в зону его прошлого, так как для него этот сигнал сразу же идет ниже пространственной оси х неподвижной ИСО (то есть, ниже линии настоящего этого наблюдателя). Поэтому движение такого сигнала с точки зрения наблюдателя неподвижной ИСО, физически невозможно. И посему появляется парадокс двух наблюдателей, заключающейся в том, что для одного из них (движущегося) сигнал возможен, а для другого (неподвижного) – нет.
Это – один из, так называемых, причинных парадоксов СТО, связанных со сверхсветовым движением.
Ранее, благодаря исследованиям в других наших работах 20 – 22, 24, мы решили этот парадокс в пользу наблюдателя неподвижной ИСО (см., например, работу 24). Сейчас же, в этой работе, мы хотим посмотреть, не имеется ли еще и других оснований для такого решения парадокса.
Углы наклона мировой линии движения сверхсветового сигнала – τʹ‹.
Для этого мы сначала исследуем углы наклона мировой линии движения сверхсветового сигнала – τʹ‹. В частности, сразу же замечаем, что угол φ наклона прямой – τʹ‹ к оси –х определяется выражением (2).
Откуда, после некоторых вычислений получаем преобразование (3), или, окончательно, уравнение (4).
Из полученного выражения сразу же следуют три вывода:
При последнем условии мировая линия сигнала сразу же попадает в зону соблюдения причинной связи.
Рассмотрим условие по углам: 2βₓ + α‹ (см. Рис. 2). Если наша досветовая ИСО начнет двигаться со скоростью света, то это означает, что каждый из двух углов βₓ стал равным 45°. И их сумма стала равна 90°. Тогда условие 2βₓ + α‹ = 90° будет автоматически соблюдаться, если только α‹ = 0°. То есть, если наблюдатель ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] будет посылать свой сигнал –τʹ‹ также имеющим скорость света. Тогда, согласно нашему выводу б) (см. выше) мировая линия такого сигнала пойдет строго по линии –х, и потому этот сигнал не будет попадать в красную зону прошлого неподвижного наблюдателя. Значит, в таком случае причинность будет соблюдаться.
Если же при условии 2βₓ = 90° движущийся со скоростью света наблюдатель пошлет свой сигнал –τʹ‹ со скоростью, большей скорости света (то есть, мировая линия сигнала пойдет ниже мировой световой линии с₂, то такой сигнал опять попадет в красную зону не соблюдения причинной связи с точки зрения неподвижного наблюдателя. Однако говорить в этом случае, что движущийся наблюдатель посылает такой сигнал в свое собственное будущее, не приходится. Ибо в таком случае обе оси координат такой ИСО сливаются в одну линию, идущую по мировой световой линии светового конуса и выделить линию настоящего для такого наблюдателя при традиционном понимании СТО, а значит и его зону будущего, не представляется возможным. Поэтому мы полагаем, что в таком случае говорить о парадоксе как таковом, вообще не приходится.
У нас остается ситуация, когда движущийся наблюдатель двигается с некоторой досветовой скоростью, меньшей скорости света. Тогда каждый из углов будет менее 45°, и их сумма станет менее 90°. Обозначим эту недостачу до 90° как ∆β. Тогда 90° - 2βₓ = ∆β. И тогда, если посылаемый движущимся наблюдателем сверхсветовой сигнал с его углом αₓ таков, что если
Здесь мы просто переформулировали условия в первых п.п. а) - в) (см. выше) применительно к новым условиям, относящимся к углам θτʹхʹ (где τʹхʹ нижние индексы) и ∆β.
Применение формул соотношения скоростей для сверхсветового сигнала – τʹ‹.
В п.10б работы 20 было показано, что если наблюдатель движущейся ИСО посылает свой тахионный сигнал в обратном направлении к ИСО S[X, ct] со сверхсветовой скоростью, превышающей некую скорость, то такой сигнал наблюдателем ИСО S[X, ct] физически не может быть воспринят, то есть такой сигнал уходит, если можно так выразиться, «в молоко» (если здесь уместна аналогия с неудачной стрельбой мимо мишени). Из нижнего Рис. 3 видно, что посылаемый из ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] тахионный сигнал будет уходить «в молоко», если только мировая линия – τʹ‹ сигнала будет находиться ниже оси –х.
А это равносильно условию, что его относительная (в сравнении со скоростью света с) скорость будет превышать обратную величину относительной же (в том же смысле) скорости v движения систем отсчета. То есть, если будет условие (5), что равносильно условию (6), откуда получаем неравенство (7).
Следовательно, получаем в итоге неравенство (8), или оно же в виде (9). Откуда и получаем искомое неравенство (10).
Итак,
Это означает, что
В указанных выше условиях
Итак, условия осуществимости вероятной сверхсветовой тахионной связи:
Легко понять, что приведенные выше условия идентичны, соответственно, условиям, определяемым выражениями (11). Ну, а последние выражения есть не что иное, как всем известные из СТО выражения вида (12).
Первое из них, как известно, послужило для А. Эйнштейна в двух работах 1, 2 1907 года и одной работе 3 1910 года «убедительным обоснованием» для запрета самой возможности существования сверхсветового движения как такового. Правда, А. Эйнштейн, при этом почему-то не счел нужным рассматривать возможности, определяемые вторым уравнением и третьим неравенством из выражений (11), доказывающие, что «запрет» А. Эйнштейна носит неполный характер, ибо он относится только к одному возможному соотношению (первому из (11)) скоростей из трех.
Применение метода подсчета интервалов времени для сверхсветового сигнала – τʹ‹.
Выше мы проанализировали отправку сверхсветового тахионного сигнала движущимся наблюдателем ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] в сторону неподвижной ИСО S[X, ct], при встречном направлении отправки сигнала и направлении движения самих ИСО друг относительно друга. Проанализировали при помощи как формул релятивистского пересчета скорости, так и формул соотношения скоростей.
Теперь, для полноты картины, перепроверим наши выводы, полученные выше при помощи метода подсчета интервалов времени.
Сразу же отметим, что такой метод мы уже использовали в п. 10б работы 24 для системы отсчета неподвижного наблюдателя. Здесь просто повторим сведения из этой работы (п.А), а затем дополнительно проделаем ту же работу (п.Б1) и для системы отсчета движущегося наблюдателя. Итак,
А). Метод подсчета интервалов времени для системы отсчета неподвижного наблюдателя.
(Примечание: далее рисунок и обозначения для данного раздела взяты из работы 24, поэтому некоторые обозначения могут отличаться от принятых ранее в данной работе. Но смысл дальнейшего изложения от этого не теряется).
Для дальнейшего исследования принимаем, что, допустим, посылаемый наблюдателем В₁ назад во времени сверхсветовой (тахионный) сигнал обладает свойством непрерывно излучать, например, электромагнитные волны. Тогда этот сигнал излучал бы ЭМ волны, например, и в моменты своего нахождения в точках А₁, А₂, А₃ на мировой линии ON (см. Рис.4 ниже).
Точка А₁ есть точка пересечения в прошлом времени -1Δτ₂наблюдателя В₂ линии одновременности -1х₂ с мировой линией ONсигнала. Обозначим этот факт записью (13). Тогда для точек А₂ и А₃ будем аналогично иметь записи (14) и (15). Поскольку мы условились, что наш тахион излучает ЭМ волны, то мировые линии 1с₂, 2с₂, 3с₂ есть мировые световые линии этих излучений из точек А₁, А₂, А₃. Соответственно, мировые линии 1с₂, 2с₂, 3с₂ пересекают ось времени τ₂ наблюдателя В₂ в точках В₁, В₂, В₃. В соответствующие моменты В₁τ₂, В₂τ₂, В₃τ₂ времени τ₂. Этот факт мы запишем записью (16).
Переходим к анализу данной ситуации. Момент времени, когда сигнал ON был в точке А₁ соответствует времени -1Δτ₂прошлого наблюдателя В₂. Сам наблюдатель В₂ в это время был в точке своей мировой линии, соответствующей времени 1Δτ₂. За не имением достаточного места для обозначений на рисунке, так эту точку и обозначим – (֗•)1Δτ₂, и тогда ее нахождение на прямой τ₂ в момент времени 1Δτ₂ в принятых нами обозначениях запишется выражением (17). Тогда для моментов времени 2Δτ₂ и 3Δτ₂ соответствующие точки на прямой мы можем записать выражениями (18) и (19).
Возвращаемся к (•) А₁. По временной оси τ₂ эту точку от точки (•)1∆τ₂ отделяют два промежутка времени ∆τ₂. Поэтому световой луч 1с₂ в своем пути до оси τ₂ должен преодолеть не менее (учитывая еще и расстояние от А₁ до оси τ₂) этих двух промежутков 2·∆τ₂ времени, чтобы пересечь ось в точке В₁, соответствующей времени примерно 1,5∆τ₂ . То есть, этот луч проходит примерно временное расстояние, равное
2·∆τ₂ + 0,5∆τ₂ = 2,5∆τ₂ .
Но пока луч проходит это временное расстояние, наблюдатель В₂ также проживает эти два с половиной промежутка времени и потому оказывается на временной оси в точке 1∆τ₂ +2·∆τ₂ + 0,5∆τ₂ =3,5·∆τ₂. Таким образом, на временной оси τ₂ наблюдатель В₂, как оказывается, опережает прибытие на эту ось луча на
3,5·∆τ₂ - 2,5∆τ₂ = 1,0∆τ₂.
Итак, к моменту пересечения световым лучем 1с₂ оси τ₂ он все равно оказывается в прошлом наблюдателя В₂. Значит, наблюдатель В₂ не сможет зафиксировать прибытие луча 1с₂ на ось τ₂. Аналогичную картинку мы получаем и с прибытием на ось τ₂ световых лучей от точек А₂ и А₃.
Для точки А₂ мы получаем исходную разницу во временных единицах, определяемую выражением (20).
Судя по чертежу на рисунке, луч света 2с₂ от точки А₂ пересекает ось τ₂ в точке, имеющей временную координату 3τ₂, то есть затрачивает на путь еще и дополнительное время 1∆τ₂, и, таким образом, этот луч проходит временное расстояние по шкале τ₂, равное
4,0 ∆τ₂+ 1,0∆τ₂= 5,0∆τ₂.
За это время наблюдатель В₂ перемещается по своей временной оси на такое же временное расстояние в 5,0∆τ₂, и, таким образом, оказывается во временной точке 2,0∆τ₂+ 5,0∆τ₂= 7,0∆τ₂. Отсюда, разница в местонахождении наблюдателя В₂ на временной оси и точки пересечения луча 2с₂ с этой же осью составляет уже
7,0∆τ₂ - 3∆τ₂= 4∆τ₂.
Значит, к моменту пересечения световым лучем 2с₂ оси τ₂ он и в этом случае оказывается в прошлом наблюдателя В₂. Значит, наблюдатель В₂ не сможет зафиксировать прибытие и луча 2с₂ на ось τ₂.
Для точки А₃ мы получаем исходную разницу во временных единицах, определяемую выражением (21) (см. выше). Судя по чертежу на рисунке, луч света 3с₂ от точки А₃ пересекает ось τ₂ в точке, имеющей временную координату 4.5∆τ₂, то есть затрачивает на путь еще и дополнительное время 1,5∆τ₂, и, таким образом, этот луч проходит временное расстояние по шкале τ₂, равное
6,0∆τ₂ + 1,5∆τ₂= 7,5∆τ₂.
За это время наблюдатель В₂ перемещается по своей временной оси на такое же временное расстояние в 7,5∆τ₂, и, таким образом, оказывается во временной точке 3,0∆τ₂ + 7,5∆τ₂= 10,5∆τ₂. Отсюда, разница в местонахождении наблюдателя В₂ на временной оси и точки пересечения луча 3с₂ с этой же осью составляет уже
10,5∆τ₂ - 4,5∆τ₂= 6∆τ₂.
Значит, к моменту пересечения световым лучем 3с₂ оси τ₂ он и в этом случае оказывается в прошлом наблюдателя В₂. Значит, наблюдатель В₂ не сможет зафиксировать прибытие и луча 3с₂ на ось τ₂.
Точки А₁, А₂, А₃ мы выбирали на мировой линии ON сигнала произвольным образом, и потому мы вправе заключить, что световой луч от любой точки этой мировой линии НЕ достигает своего адресата – наблюдателя В₂. Хотя на рисунке любой из таких световых лучей и пересекает ось времени τ₂, но каждый раз этот световой луч опаздывает на встречу с этим наблюдателем и оказывается в его прошлом. В связи с этим, наблюдатель В₂ вообще не сможет зафиксировать получение какого-либо сигнала от тахиона ON, и поэтому это тахионное сверхсветовое движение для него не существует.
А поэтому нет не только нарушений причинной связи, но и само теоретическое существование тахионных сигналов, распространяющихся вспять во времени, нашим исследованием не подтверждается.
Рассмотрим, однако, снова эту же ситуацию, но теперь уже для системы отсчета движущегося наблюдателя.
Б1). Метод подсчета интервалов времени для системы отсчета движущегося наблюдателя.
Для начала оценим ход времени в удаляющейся ИСО S[X, ct] с точки зрения наблюдателя ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ].
(Примечание: далее мы опять возвращаемся к обозначениям, принятым ранее для данной работы, поэтому возможны некоторые расхождения с обозначениями, принятыми для предшествующего раздела А). Но смысл дальнейшего изложения и его связь с предшествующим изложением от этого не теряется).
Для оценки хода времени традиционно используем метод засечек на мировой линии ct удаляющейся ИСО прямыми (синие пунктиры на рисунке ниже), параллельными пространственной оси хʹ ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ]. Эти прямые проводим через равные промежутки времени ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ]. (см. Рис. 5 ниже, на котором длинные прямые чередуются с короткими, чтобы не переполнять излишне рисунок линиями).
Выполнив указанные засечки, мы сразу же отмечаем, что для наблюдателя ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] направление хода времени и последовательность засечек в ИСО S[X, ct] совпадает с направлением хода и последовательностью этих же засечек на мировой линии -τ’< сверхсветового тахионного сигнала, имеющего скорость -u’<. Поэтому наблюдатель ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] считает, что направление и ход времени в ИСО S[X, ct] и на мировой линии -τ’< одинаков. Поэтому, полагает он, никаких причинных парадоксов с точки зрения наблюдателя ИСО S[X, ct] возникнуть не должно. Следовательно, считает наблюдатель ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ], он может отправлять к S[X, ct] свой тахионный сигнал, который в данной ИСО должен быть получен.
Здесь, как казалось бы при таком первичном анализе, возникает существенное противоречие с нашими выводами, которые мы сделали выше, исследуя возможность получения такого тахионного сигнала наблюдателем ИСО S[X, ct] в его системе отсчета.
Посмотрим, однако, на эту же ситуацию с точки зрения наблюдателя ИСО S[X, ct]. Для этого проведем на том же рисунке прямую, параллельную пространственной оси X данной ИСО. Чтобы не заполнять рисунок излишними линиями, проведем только одну такую прямую, проходящую через точки R, М и К. Точку М на оси выбираем из условия, чтобы эта точка отмечала на оси ctʹ целое число единиц времени ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ]. Для нашего анализа этого будет вполне достаточно, так такую прямую мы берем произвольно, и потому, выводы, полученные в связи с ее проведением, будут полностью аналогичны таковым для любых других таких линий. После проведения прямой RМК║Ах, мы обнаруживаем, что точка М отстоит на оси времени ctʹ на три единицы времени вниз (см. синие пунктиры) от точки А, а точка R, лежащая на оси ct, отстоит от начала координат А на 4 временные единицы. Так как через каждую из таких засечек на оси времени ctʹ мы могли бы провести свою прямую, параллельную Ах, то это означает, что и для ИСО S[X, ct] также точка М отстоит от точки А вниз на те же три единицы времени, а точка R – на четыре. Так как точка А есть единое начало координат и для ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ], и для ИСО S[X, ct], то это значит, что сигнал -uʹ‹ был отправлен наблюдателем Sʹ[хʹ, ctʹ] из А в одно и то же время с ИСО S[X, ct]. И так как мы установили, что точка М находится вниз от точки А, то есть в прошлом точки А, то это означает, что для ИСО S[X, ct] сигнал -uʹ‹ уходит в ее прошлое. Несмотря на то, что в системе отсчета Sʹ[хʹ, ctʹ] этот же самый сигнал уходит в будущее.
Тогда мы должны констатировать, что когда сигнал -uʹ‹ двигался по своей мировой линии -τʹ‹ от точки А к точке К, он вместе с тем продвинулся во времени назад на 4 единицы времени для ИСО S[X, ct]. Но пока происходило указанное движение этого сигнала, время для ИСО S[X, ct] также не стояло на месте, и потому начало координат этой ИСО из точки А сместилось вверх также на 4 единицы времени и заняло положение, соответствующее точке U на оси ct.
Поэтому, в момент, когда тахионный сигнал появился в точке К пространства-времени, характеризуемой временем в 3 временные единицы, начало координат ИСО S[X, ct] находилось в точке U, характеризуемой временем в 4 временные единицы. Понятно, что длительность каждой из этих 3 единиц времени и длительность каждой из этих 4 единиц времени разная из-за наклона мировой линии ct относительно мировой линии ctʹ, но если спроецировать точку U на ось ctʹ, то видно, что отложенные по этой оси 4 единицы времени больше, чем такие же 3 единицы времени. Так что возможная попытка приравнять эти времена по причине движения ИСО S[X, ct] относительно ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] – несостоятельна.
Пусть теперь, когда тахион находится в точке К, он испускает ЭМ волну (свет), которая двигаясь со скоростью света в вакууме с, достигает мировую линию ct в точке L, а мировую линию ctʹ в точке F. Из рисунка мы видим, помимо того, что мировая линия KL света пересекает мировую линию ct в точке L, также и то, что момент начала излучения света в точке К соответствует моменту времени в точке N на оси ctʹ, и что точку К отделяет от точки L ровно 9 временных единиц. То есть, чтобы преодолеть расстояние KL, свету потребовалось 9 единиц времени. Естественно, что за эти же 9 единиц времени начало координат ИСО S[X, ct] продвинулось из точки U по своей мировой линии ct также на 9 единиц времени, и заняло, соответственно, положение точки Q.
Точка Q на мировой линии ct расположена выше точки L, поэтому точка L расположена в прошлом точки Q. А это означает, что в момент времени, когда наблюдатель ИСО S[X, ct] находился в точке L, световой сигнал от К туда еще не пришел, он был еще только на подходе к точке L. А в момент, когда сигнал от К в точку L все-таки пришел, наблюдателя ИСО S[X, ct] там уже не было. Все сказанное означает, что наблюдатель ИСО S[X, ct] сигнал от точки К НЕ получит. Поскольку выбор точки К на мировой линии -τʹ‹ был совершенно произволен, то это означает, что наблюдатель ИСО S[X, ct] не получит сигнал также и от любой другой точки мировой линии -τʹ‹ .
Поэтому наблюдатель ИСО S[X, ct] не может наблюдать за тахионным сигналом -τ’<, а потому он не сможет и оценить, в каком направлении во времени этот сигнал движется. Исходя из этого, наблюдатель не может ничего судить о том, есть ли причинный парадокс в этом случае, или же причинного парадокса нет.
Б2). Метод использования уравнений прямых для определения интервалов времени в обеих системах отсчета.
В системе отсчета движущегося наблюдателя записываем уравнения прямых линий во 2-ом и 4-ом квадрантах (см. предыдущий рисунок) в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ]:
- Уравнение прямой ct определяется выражением (22), здесь и далее знак + для 2-го квадранта, знак минус – для 4-го. Соблюдение знаков для 2-го и 4-го квадрантов важно, так как, хотя величины соответствующих углов при скрещивающихся прямых равны, но их тангенсы получаются при разных знаках при величинах хʹ и ctʹ, что важно учитывать, чтобы не запутаться в знаках при координатах тех или иных точек.
- Уравнение прямой x определяется выражением (23),
- Уравнение прямой x, смещенной на а > 0 единиц времени вниз (точка М) в отрицательном направлении оси ctʹ, (см. предыдущий рисунок) определяется выражением (24),
- Уравнение светового луча KF определяется выражением (25)?
- Уравнение сверхсветового сигнала -τʹ‹ определяется выражением (26).
1. Решая систему уравнений (22) и (24), находим уравнение (27), откуда следует уравнение (28).
2. Решая систему уравнений (26) и (24), находим уравнение (30), откуда следует уравнение (31).
Эти уравнения представляют собой координаты множества точек К пересечения прямых -τʹ‹ и xʹ - a во 2-ом квадранте при разных значениях а.
Непосредственно для точки К (2-й квадрант) с учетом знаков по квадрантам получаем уравнения (32):
3. Решая систему уравнений (25) и (24), находим уравнение (33) , откуда следует уравнение (34).
Эти уравнения представляют собой координаты множества точек L пересечения светового луча ctʹ = -xʹ + F и прямой xʹ - a во 2-ом квадранте при разных значениях a.
Непосредственно для точки L (2-й квадрант) с учетом знаков по квадрантам получаем уравнение (35)
где параметр F легко определяется из уравнения (25) светового луча для 2-го квадранта подстановкой в него значений координат ctʹ и xʹ, вычисленных выше для точки К (ибо из этой точки данный световой луч и исходит).
Подставляя F в уравнение (35), получим выражение (36), откуда сразу вытекает формула (37).
4. Теперь мы можем определить интересующие нас временные расстояния между точками R, К и L.
Сначала определим временное расстояние RK между точками R и К, используя теперь уже известные нам временные координаты этих точек, взятые по модулю. Из уравнения (38) следует уравнение (39).
Теперь определим временное расстояние KL между точками К и L, также используя теперь уже известные нам временные координаты этих точек. Из уравнения (40) (см. ниже) следует уравнение (41).
Тогда временное расстояние RKL будет равно сумме первых двух (см. уравнение (42)), следовательно получаем уравнение (43), откуда следует уравнение (44).
Определим теперь временное расстояние по прямой RL во времени, которое оказывается равным величине, определяемой уравнением (45), следовательно, мы далее получим уравнение (46).
Мы убедились, что в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] оба временных расстояния, ctʹRKL и ctʹRL (здесь RKL и RL нижние индексы) , оказались точно равны друг другу. А это означает, что в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] световой сигнал из точки K и наблюдатель ИСО S[X, ct] в точке L окажутся одновременно. Из чего можно сделать вывод, что с точки зрения наблюдателя ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] сверхсветовой сигнал -uʹ‹ окажется в ИСО S[X, ct] наблюдаемым, а значит, и существующим.
Посмотрим теперь, так ли это будет в самой ИСО S[X, ct]. Если окажется, что и в ИСО S[X, ct] световой сигнал из точки K и наблюдатель ИСО S[X, ct] в точке L окажутся одновременно, то это будет означать, что и в этой ИСО сверхсветовой сигнал -uʹ‹ будет наблюдаемым, а значит и существующим.
Для наблюдателя ИСО S[X, ct] точка R имеет временную координату (47) (см. ниже).
Здесь мы должны сделать следующее примечание. Естественно, что отрезок времени MZ в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] не равен отрезку времени YR в ИСО S[X, ct], вследствие наклона оси времени ct к оси времени ctʹ на угол, определяемый скоростью движения v/c. И посему следовало бы пересчитывать отрезки времени в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ], подобные MZ, в отрезки времени в ИСО S[X, ct], подобные YR, при помощи преобразований Лоренца. Но так как сейчас в дальнейшем мы будем использовать и сравнивать друг с другом только отрезки времени, взятые в ИСО S[X, ct], то все они будут пересчитаны при помощи преобразований Лоренца, и при их сравнении друг с другом все они окажутся в равной степени пропорционально измененными этими преобразованиями. Что позволяет, при сравнении отрезков времени, эти пропорциональные изменения просто не учитывать, так они не влияют на результат сравнения. Поэтому, и еще, чтобы не загромождать текст усложненными формулами, мы пересчет при помощи преобразований Лоренца делать не будем.
Итак, имеем равенство (47), значит, из расчета выше получаем уравнение (48).
Далее, в ИСО S[X, ct] точка K имеет временную координату (49), а точка L имеет временную координату (50) (эту разность можно непосредственно проверить на рисунке, приложив к нему по синим засечкам мерные прямые линии, параллельные хʹ для замеров в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ], и параллельные Х для замеров в ИСО S[X, ct]). Следовательно, далее получаем уравнение (51).
Тогда определяем время в пути наблюдателя ИСО S[X, ct] по уравнению (*):
Время в пути в ИСО S[X, ct] светового сигнала от точки K до точки L определяется равенством (52), значит далее мы получаем уравнение (53).
И тогда суммарное время в пути сверхсветового сигнала и светового луча равно выражению (54)
Следовательно, затем мы получаем уравнение (**)
Определяем в ИСО S[X, ct] разницу ∆сt между суммарным временем в пути сверхсветового сигнала-светового луча и наблюдателя ИСО S[X, ct], вычитая из уравнения (**) уравнение (*), и в итоге получаем уравнение (55).
Итак, разница во времени в ИСО S[X, ct] есть, и она выражается уравнением (56).
Так как величина а может быть любой, большей нуля (а > 0), то это означает, что наблюдатель в ИСО S[X, ct] не будет видеть ни одну из точек мировой линии сверхсветового тахиона - uʹ‹ . То есть, этот тахион для него будет не наблюдаемым. А это и означает, что тахион -u’< для наблюдателя ИСО S[X, ct] не существует.
В принципе понятно, почему наблюдатель в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] полагает, что наблюдатель ИСО S[X, ct] этот тахион будет наблюдать, тогда как сам наблюдатель ИСО S[X, ct] в своей системе отсчета этот тахион не видит.
Дело в том, что в ИСО Sʹ[хʹ, ctʹ] отсчет времени движения и тахиона, и наблюдателя ИСО S[X, ct], начинаясь в точке А, идет, и там, и там, в одном и том же направлении, – в будущее, - и отсчитывается синхронно и параллельно в этом одном направлении. То есть, и тахион, и наблюдатель ИСО S[X, ct], двигаются во времени одновременно и параллельно друг другу. В том же направлении, и также синхронно и параллельно, отсчитывается и время в пути и светового сигнала от такого тахиона.
А вот для наблюдателя в ИСО S[X, ct] ситуация другая: если полагать, что сверхсветовой сигнал, движущийся вспять во времени наблюдателя ИСО S[X, ct] реально существует, то отсчет времени в пути такого сигнала также начинается в точке А. Но вот двигается то он, хотя и одновременно с наблюдателем ИСО S[X, ct], но уже не параллельно, а в разных направлениях во времени, то есть, антипараллельно во времени. Пока наблюдатель ИСО S[X, ct] двигается в своем привычном ему прямом направлении времени, тахион, в ИСО S[X, ct], двигается в обратном направлении времени. Итак, во времени они двигаются антипараллельно, встречно, и потому во времени они удаляются друг от друга. И пока тахион проходит от точки А до точки K временное расстояние (57), наблюдатель ИСО S[X, ct] затрачивает то же самое время, определяемое уравнением (58), на свое движение от точки А до точки U. (Берем здесь модуль, так как время (59) положительно и нам здесь надо просто сравнивать величины обоих времен.). Поэтому, когда тахион попадает в точку K, а наблюдатель в точку U, временное расстояние между ними удваивается и становится равным времени (60). Это и есть искомая разница во времени.
Подъитожим. Выше мы исходно предположили, что в ИСО S[X, ct] сверхсветовой тахион реально существует и двигается во времени в обратном для ИСО S[X, ct] направлении. В результате мы получили, что наблюдатель в ИСО S[X, ct] никогда не сможет наблюдать такой тахион, и, следовательно, такой тахион для этого наблюдателя не существует. В математике это называется доказательством от противного.
Поэтому,
В этом отношении здесь напрашивается некоторая аналогия со стрельбой в мишень. Стрелок волен сделать выстрел и делает его, но при этом в мишень не попадает, а попадает «в молоко», то есть мимо мишени.
Заключение. Пространственно-временные причинные зоны двумерного пространства-времени.
Таким образом, выше мы самыми разными способами показали, что
В связи с этим, снимаются с повестки дня любые попытки показать здесь какой-либо причинный парадокс. Причинных парадоксов в такой ситуации просто нет.
Заметим также, что из нашего исследования вытекает еще один вывод:
В заключение приведем итоговый обобщающий рисунок с нанесенными причинными зонами для рассмотренного в этой работе случая двух противоположных сигналов, один из которых направлен встречно направлению относительного движения двух систем отсчета и при этом направлен в прошлое неподвижной ИСО.
В данной работе мы как раз исследовали именно последнюю (светло-красную) зону, которая, в силу своей двойственности (будущее для одной ИСО, прошлое для другой), представляла особый интерес при исследовании вопросов сохранения причинных связей при сверхсветовых тахионных сигналах.
Результатом проведенного в данной работе исследования является доказательство отсутствия в этой интересной зоне сверхсветовых сигналов и движений, которые имели бы физический смысл.
Литература.
(нумерация списка литературы соответствует таковой в книге. Здесь приведена только та литература, ссылки на которую есть в тексте).
1 Einstein, A., Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie, Annalen Der Physik, 328(7), 371–384, (Eingegangen 14 Mai 1907), русский перевод: А. Эйнштейн, «Об инерции энергии, требуемой принципом относительности» (см. А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, том 1 «Работы по теории относительности 1905 - 1920», Академия наук Союза ССР, серия «Классики науки», под редакцией: академик И. Г. Петровский и др., издательство «Наука», Москва, 1965 г., стр. 61 - 62).
2 Einstein, A., Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen, Jahrb. Radioakt. (Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik), 4, 411-462 (1907), (Eingegangen 3 März 1908); 5, 98-99 (Berichtigungen), русский перевод: А. Эйнштейн, «О принципе относительности и его следствиях» (см. §4 «Следствия из формул преобразования для твердых масштабов и часов», А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, том 1 «Работы по теории относительности 1905 - 1920», Академия наук Союза ССР, серия «Классики науки», под редакцией: академик И. Г. Петровский и др., издательство «Наука», Москва, 1965 г., стр. 76).
3 А. Эйнштейн, «Принцип относительности и его следствия» (А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, том 1 «Работы по теории относительности 1905 - 1920», Академия наук Союза ССР, серия «Классики науки», под редакцией: академик И. Г. Петровский и др., издательство «Наука», Москва, 1965 г., стр. 157 - 158).
8 Ehrenfest P., “Zu Herrn v. Ignatowskys Behandlung der Bornschen Starrheitsdefinition II”, вPhysikalische Zeitschrift, 12 Jahrgang 1911, Seite 412-413.
20 Платонов А.А., «О световом конусе и линии одновременности в СТО (традиционный взгляд и новое рассмотрение)», Санкт-Петербург, декабрь 2019 г., в данном сборнике, ранее не публиковалось.
21 Платонов А.А., «О невозможности движения сверхсветовых сигналов в прошлое любых ИСО», Санкт-Петербург, ноябрь -декабрь 2019 г., в данном сборнике, ранее не публиковалось.
22 Платонов А.А., «О замкнутом причинно-следственным цикле с участием сверхсветовых сигналов (возможный метод решения в СТО причинных парадоксов с участием сверхсветовых сигналов)», Санкт-Петербург, ноябрь -декабрь 2019 г., январь 2020 г., в данном сборнике, ранее не публиковалось.
24 Платонов А.А., «Причинный парадокс в описании Эренфеста», Санкт-Петербург, декабрь 2019 г. – январь 2020 г., в данном сборнике, ранее не публиковалось.
Санкт-Петербург, Крестовский о-в, Алексей А. Платонов.
05.01 – 12, 25.01.2020 г.
Copyright © Платонов А.А. 2021 Все права защищены
Ссылки на статьи по монографии «Причинные «парадоксы» в Специальной Теории Относительности (краткие история и описание, решение)».
О световом конусе и линиях одновременности в СТО (традиционный взгляд и новое рассмотрение)
О невозможности движения сверхсветовых сигналов в прошлое любых ИСО
Причинный парадокс в описании Эренфеста
«Causal paradox in Ehrenfest's description» («Причинный парадокс в описании Эренфеста»).
Об антителефонном парадоксе Толмена
The source of causal paradoxes. Incomplete research by A. Einstein into the possibility of superluminal motion
Сверхсветовые сигналы в пространственно-временной зоне Эйнштейна-Эренфеста
Ссылки на начальные статьи по моим монографиям:
Сверхсветовое движение материальных тел. О книге
Хэштеги к книге:
#причинный парадокс, #causal paradox, #принциппричинности, #causalityprinciple, #Минковский, #Minkowski, #диаграммаМинковского, #minkowskidiagram, #пространствоМинковского, #spaceMinkowski, #пространствовремяМинковского, #spacetimeMinkowski, #плоскостьМинковского, #planeMinkowski, #СТО, #STR,
#конусбудущего, #конуспрошлого, #coneofthefuture, #coneofthepast, #Игнатовский, #Ignatowsky #специальнаятеорияотносительности, #specialtheoryofrelativity, #инерциальныесистемыотсчета, #inertialreferencesystems, #сверхсветовой, #superluminal, #overlight, #тахион, #tachyon, #сверхсветовоедвижение, #superluminalmovement, #тахионныйантителефон, #tachyonantiphone, #парадоксТолмена, #Tolman'sparadox,
#парадоксЭренфеста, #Ehrenfest'sparadox, #TolmanReggeantitelephone, #световойконус, #lightcone, #линияодновременности, #lineofsimultaneity, #линиянастоящего, #lineofthepresent, #обратныйходвремени, #reversetime, #отрицательноевремя, #negativetime, #постулатвремени, #postulateoftime, #принципзащитыхронологииХокинга,
#Hawking'schronologyprotectionprinciple, #Хокинг, #Hawking