Продолжим описание некоторых математических крючков, которые можно использовать в работе.
Начало (первые 10 крючков) в прошлом посте: https://dzen.ru/media/partizanxyz/matematicheskie-kriuchki-chast-1-6507d2ffd1ed903e1295cf16
Напомню, что математическими крючками мы здесь называем занимательные задачи, факты, наблюдения, которые потенциально могут зацепить учеников.
11. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё пару таких кирпичей?
Это задача, которую я практически не использую в последнее время, т.к. она заходит только при явном наличии тех самых кирпичей.
Конечно, не кирпичей, а «кирпичей». Потому что было бы очень странно таскать с собой в рюкзаке тройку настоящих кирпичей.
Для демонстрации задачи я в свой время вырезал из пенопласта четыре муляжа кирпичей и красил их оранжевой гуашью. Чтобы решить задачу достаточно трёх кирпичей, но я делал именно четыре, чтобы количество кирпичей не стало подсказкой.
Поначалу в работе пробовал использовать спичечные коробки, но длина главной диагонали и диагонали верхней грани почти не отличаются.
Часть старшеклассников пробует сразу измерить три ребра и рассчитать длину диагонали по формуле. Если им ставить ограничения («по условию задачи можно проводить только измерения, а не вычисления»), то крючок не получается. «Зачем такое решение, если можно просто посчитать?».
Поэтому задача цепляет только тех, кто пока не знает формул стереометрии.
12. Сет.
Известная настольная карточная игра, которая развивает внимание и абстрактное мышление. К математике имеет косвенное отношение.
В работе использовал как развлечение (в школе сделали что-то вроде игровой, и там этот набор пользовался популярностью) и как источник исследовательских задач в части комбинаторики и отчасти оптимальной стратегии.
Включил в этот список как крючок, т.к. родители рассказывали, что их дети часто просили купить наборы к себе домой и тренировались с ними и дедушками-бабушками.
13. Торт и шоколадка.
«На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?»
Задача сама по себе довольно интересная. Может использоваться как вводная в теме «Центральная симметрия».
Но пару раз из неё удалось сделать отличную живую демонстрацию с настоящим тортом и шоколадной медалью, когда вёл занятия у детей в хорошо знакомых семьях.
14. Семья на мосту.
Эта задача начинается с классической головоломки «Волк, коза и капуста». Она сама по себе известная и многие дети просто знают её решение. Другие после некоторых раздумий и небольших подсказок спокойно её решают.
Возможно, для школьников в начальной школе даже эта задача может стать крючком. Однако, старших учеников она не так цепляет.
Дальше возможны разные ответвления. Есть про лодку, роту солдат и двух мальчиков, есть различны комбинации животных и овощей в лодке.
По сути, это элементы классической кружковой темы «Переправы».
Однако, и здесь есть задача, которая особенно цепляет учеников. Называется она «Семья на мосту».
Условие: «Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидать фонарик нельзя)».
Вот эту задачу довольно часто тоже решают всей семьёй.
15. Ползущая улитка.
«Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 метров. Каждый день она проползает вверх на 3 метра, а каждую ночь съезжает вниз на 2 метра. За сколько дней она доползёт до вершины столба.»
Ученики, незнакомые с этой задачей, почти всегда сначала ошибаются.
Но если попросить нарисовать график движения улитки, то всё встаёт на свои места.
Кстати, эта задача есть на сайте РешуЕГЭ: https://mathb-ege.sdamgia.ru/problem?id=506264.
16. Лингвистические задачи.
Иногда ко мне обращаются ученики, которых нужно подтянуть по математике, и при этом они интересуются литературой и русским (или иностранным) языком.
То есть гуманитарии в хорошем смысле этого слова.
Чтобы показать некоторую связь гуманитарных дисциплин и математики, я иногда использую лингвистические задачи.
Обычно достаточно бывает двух задач. Одна разбирается совместно с учеником на занятии, другая идёт на дом.
Задание №1. «Даны польские слова и их переводы на русский язык в изменённом порядке.
Слова: niedziela, wędka, węgorz, trębacz, wędkarz, czarodziej, rękodzielnik, rękawiczka;
Переводы: рыболов, угорь, перчатка, удочка, кустарь, воскресенье, волшебник, горнист.
Постарайтесь найти переводы всех польских слов»
Задание №2: Перевод небольшого отрывка на польском языке.
Эти задачи есть в сборнике олимпиадных лингвистических задач (№№ 15 и 16) https://www.mccme.ru/llsh/books/olimp-1965-1975/lingv..
Первое задание вместе с учеником можно решить буквально за 5 минут. Заодно можно на этом примере показать, как обычно рассуждают в подобных задачах. Польский язык относится к славянским языкам, поэтому некоторые слова довольно легко отгадать.
Если ученик хоть немного заинтересовался, то можно дать второе задание на дом. Так как там тоже польский язык и некоторый опыт рассуждения он получил, то есть шанс, что и второе задание будет ему интересно.
Лингвистику можно считать математикой без математики. В подобных задачах сравнительно низкий порог входа. Можно поэкспериментировать и подобрать другие задания для учеников. По своему опыту могу лишь добавить, что задачи на церковнославянском языке и на некоторых экзотических языках не зашли.
Недавно попалась на глаза ёмкая и красивая лингвистическая задача: «Как называется остров Пасхи на рапануйском языке?». Буду тестировать её в этом году.
17. Муха и велосипедисты.
«Два велосипедиста едут друг другу навстречу, расстояние между ними 300 км. В начальный момент движения взлетает муха и принимается летать вперед и назад между велосипедистами, пока те не встретятся. Велосипедисты все это время ехали со скоростью 50 км/ч, а муха летала со скоростью 100 км/ч. Какое расстояние пролетела муха?»
Эту задачу я даю в конце темы «Текстовые задачи на движение». То есть чтобы она произвела впечатление на ученика, он должен чётко уметь решать стандартные задачи.
Если ученик не умеет решать текстовые задачи, то лучше её не задавать. В этом смысле у неё есть порог входа.
Для сильных учеников можно попробовать просуммировать ряд.
18. Огурец и 99%.
«В 100 кг свежих огурцов содержится 99% воды. После хранения огурцы усохли, и содержание воды в них стало 98%. Сколько весят огурцы после хранения?»
Это ещё одна текстовая задача. На этот раз на концентрацию. Её также хорошо давать в конце соответствующей темы. Ответ очень неожиданный, что иногда цепляет учеников.
Коллега-химик рассказывала, что у них в школе один из школьников настолько был поражён получившемуся результату, что захотел провести эксперимент. Учитель математики направил его как раз к ней, и они вместе с учеником поставили такой опыт.
Естественно, огурцов взяли чуть поменьше.
Правда, не могу сказать точно, как именно проводился эксперимент (коллега говорит, что есть возможность как-то измерить влажность). Но точно знаю, что опыт подтвердил математические расчёты.
19. Разрезание шахматной доски без двух клеток.
Классическое условие таково:
«а) Из шахматной доски вырезали клетку a1. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1×2?
б) Тот же вопрос, если вырезали две клетки a1 и h8»
Для кружковых школьников такая формулировка подходит. Им в целом интересно пробовать перебирать варианты.
Но обычные школьники на практике не будут пробовать замостить шахматную доску. Поэтому, чтобы получить максимум от задачи, лучше использовать доску размером 4×4, а вырезать просто противоположные клетки. И перед тем, как формулировать задачу, можно просто сначала замостить такую доску без вырезанных клеток.
В таком случае больше шанс того, что ученик перепробует несколько вариантов во втором пункте (первый решают почти сразу). Школьников часто удивляет тот факт, что количество клеток вроде чётно, а замостить не получается…
И уже после этого можно рассказать красивое решение с подсчётом чёрных и белых клеток.
20. Пентамино и прямоугольник 3×20.
Кружковая тема разрезаний и замощений логично перетекает в знакомство с Пентамино. По этому разделу можно провести полноценный кружковый урок (а то и парочку).
Здесь можно предусмотреть разные сюжетные повороты и сделать с детьми много интересных открытий.
Но из всей этой темы есть одна особенная задача, которая часто цепляет учеников.
Лучше к ней тоже подходить аккуратно. Сначала рассказать про домино и тримино, про тетрис. После этого поговорить про пентамино и найти все 12 фигурок. Правда, когда нет времени, можно просто перечислить все фигурки явно.
После этого можно показать, как эти 12 фигур замощают прямоугольник 6×10 (а какие прямоугольники принципиально можно замостить всеми 12 пентаминошками?).
А потом дать на самостоятельное исследование задачу-крючок.
«Сложить из всех элементов пентамино прямоугольник 3×20». Эта задача подкупает своей простотой и тем, что решений всего два. При этом решение неочевидное и нужно провести некоторый перебор вариантов.
Кстати, некоторым оффлайновым ученикам, если эта задача показалась интересной, я на некоторое время (от недели до месяца) даю поиграть в Катамино. Это головоломка, использующая деревянные фигурки пентамино.
21. Толщина листа бумаги.
Задача формулируется просто: «Как вычислить толщину листа бумаги А4?».
Лучше всего, когда в пределах досягаемости есть стандартная пачка такой бумаги.
Она и же является методом решения этой задачи.