Одним из элементов наполнения методической копилки являются так называемые математические крючки.
Это набор занимательных задач, фактов, наблюдений или даже просто историй, которые потенциально могут зацепить учеников.
У всех педагогов такой набор разный.
Многое зависит от опыта преподавателя, его характера, от уровня его учеников, от текущих целей и т.д.
Даже одни и те же сюжеты педагоги могут очень по-разному обыгрывать.
Ниже я расскажу о наиболее ярких сюжетах и задачах, которые использую на практике.
Постараюсь не только их перечислить, но и попробую рассказать, как именно применяю эти сюжеты, когда и для кого они уместны и прочие нюансы, которые возникают на практике.
В следующем посте расскажу в целом о концепте математических крючков и как они вплетаются в ткань обучения. А также когда они наоборот будут только лишними.
Опытные учителя про все эти задачи знают, поэтому наиболее полезным этот список будет для начинающих педагогов.
1. Муха
В посте про развитие пространственного мышления я упоминал про игру «Муха».
Суть ещё в следующем.
На доске рисуется поле размером 3×3 клетки. По легенде в центре сидит нарисованная муха. Она может двигаться вверх-вниз-влево-вправо. Ведущий говорит: «Муха в центре. Муха вверх, муха влево, муха вниз, муха вниз… и т.д.». Дети внимательно смотрят на поле и мысленно её перемещают. Как только воображаемая муха после нескольких команд оказывается в центре, ученики должны хлопнуть в ладоши – то есть поймать её. Начальная фраза «муха в центре» нужна для того, чтобы после поимки мухи в центре, те, кто не смог представить себе этого, смогли осознать, где она теперь находится.
Это самая базовая механика игры и сначала нужно с учениками хорошенько отработать такой вариант. Далее идут усложнения. Подробнее о разных её вариациях можно прочесть по ссылке.
На практике её хорошо использовать, когда перед вами группа малознакомых детей и через такую игру можно их как-то быстро собрать. Подходит для начала какой-либо презентации школьникам 5-6 класса.
Можно использовать в качестве ритмичной разминки для более младших школьников, когда есть буквально полминуты свободного времени. В таком случае игра может служить для развития пространственного мышления, если её постепенно с каждым занятием усложнять.
Для индивидуальной работы подходит в меньшей степени, т.к. есть более интересные с точки зрения содержания крючки. Для развития пространственного мышления при индивидуальной работе тоже лучше использовать более эффективные приёмы.
2. Репка
Экспозиция задачи следующая.
На листе бумаге или доске пишется следующее неравенство: «Д + Б + В + Ж + К < Р < Д + Б + В + Ж + К + М»
Вопрос: «Что здесь зашифровано?»
Ответ вы видите в названии крючка.
Важно постараться минимизировать условия и вопрос оставлять в такой формулировке.
С первого раза понять, как решается задачи очень сложно. Мне не встречались ученики, которые смогли сразу решить это задание.
Когда ученик чуть поразмыслит над задачей и первое недоумение пройдёт, то можно всячески её обыгрывать. Можно рассказать, что ученику второго класса ещё легче решить, чем взрослому. Что часть старшеклассников думает, что Д – это дискриминант, а Р – это периметр. Что большинство учеников пытается заменить буквы их порядковым номером (особенно, когда ученик уже попробовал это сделать).
Ну а дальше можно давать подсказки. Обычно их бывает три. Можно растянуть их на несколько занятий (или давать их в переписке), но можно дать сразу в течение 5-10 минут и всю задачу прожить с учеником за это время.
Первая подсказка: каждая буква – это начальная буква некоторого слова (дальше с учеником можно вспомнить, какие слова знают маленькие дети). Вторая подсказка: все являются живыми существами, кроме Р (иногда можно уточнить, что это растение). Третья подсказка: это сказка.
Обычно после третьей подсказки через некоторое время ученик, перебрав знакомые сказки, вспоминает про репку.
Это задание имеет очень низкий порог входа, поэтому подходит практически для любых учеников.
3. Зеркальные индексы.
Само задание представляет из себя последовательность странных иероглифов, которую нужно продолжить дальше. Условие можно посмотреть по ссылке https://olimpiada2x2.ru/theory/13?class=2 (задача №4).
Сама задача очень известная. Однако, для достижения вау-эффекта рекомендую подавать её следующим образом.
Если вы работаете с учеником лично и очно, приготовьте заранее карандаш и ластик.
Саму последовательность символов напишите карандашом. Рекомендую нарисовать первые шесть символов.
Пока ученик размышляет и высказывает предположения, можно нарисовать следующий символ. Лучше подавать его как подсказку, хотя по факту это лишь запутает его. Седьмой символ сильно отличается от предыдущих, поэтому это может слегка подогреть его интерес.
Дальше можно задаться вопросом, а что общего у всех этих фигур. Обычно ученики перечисляют какие-то произвольные чёрточки. Но через какое-то время можно сказать, что общее в них то, что они зеркальные (или симметричные, если ученик знает это термин).
И после этого провести вертикальную ось симметрии (напомню, что всё делаем карандашом!).
А дальше задав вопрос «Ну а теперь не очевидно?!», можно потихонечку начинать стирать ластиком правую половину (справа от оси симметрии).
И как раз в этот момент происходит катарсис. Из непонятных картинок появляется ряд чисел.
Дальше можно рассказать, что это почтовые индексы, и попросить нарисовать следующие фигуры.
Само задание можно использовать в такой форме перед началом темы симметрия (как в программном курсе геометрии, так и ранее на кружковой математике). Также задача самодостаточна и может быть просто эффектной демонстрацией.
Для части учеников, которым особенно понравилась задача, можно рассказать, как лучше задавать другим эту задачу. Иными словами, показать, что происходит за сценой. Для таких учеников крючком становится не сама задача, а момент её эффектной демонстрации другим. Поэтому стоит рассказать и про важность карандаша и ластика (в школьном варианте это может быть доска, мел и тряпка, в онлайн варианте – планшет и соответствующие команды пера)
Некоторые коллеги при индивидуальной работе иначе обыгрывают это задачу. Например, кто-то носит с собой зеркало и при демонстрации приставляет его одной из половинок. Кто-то использует иную симметрию, нежели в классической задаче. Пространство для творчества в таких ситуациях огромно.
4. Стоимость бутылки и пробки.
Хорошая задача с неочевидным ответом: «Бутылка с пробкой стоит 11 рублей, бутылка дороже пробки на 10 рублей, сколько стоит пробка?».
Тут добавить нечего. Первый «очевидный» ответ почти всегда неправильный.
5. Найти число от 1 до 1000.
Завязка такая: за 10 вопросов угадать загаданное другим человеком число от 1 до 1000. Школьнику, которые не знает про дихотомический поиск, это кажется маловероятным.
От этой задачи можно перейти к разговору про степени двоек. И почему в килобайте на самом деле не тысяча байтов.
6. Быки-коровы.
Ещё одна известная активность – классическая игра быки-коровы.
Коротко напомню её правила.
Ведущий загадывает четырёхзначное число, в котором все цифры различны. Игрок делает ход, называя свои версию задуманного числа. Если совпадает цифра и её позиция, то это «бык». Если цифра совпадает, но её позиция нет, то это «корова». После каждого хода ведущий говорит количество быков и коров в предложенном игроком варианте. Задача – постараться отгадать задуманное ведущим число за минимальное количество ходов.
Обычно я играю в неё с учениками, у которых в целом с математикой всё нормально. В первую очередь мне хочется через эту игра сподвигнуть их на рассуждения. Поэтому играем как минимум два раунда – сначала загадывает ученик (чтобы разобраться в механике игры), а потом я.
Причём я обязательно проговариваю вслух все свои рассуждения. Так ученик, слушая мою речь, сможет понять, что каждое следующее число я говорю не наугад, а с некоторой целью. То есть учится выдвигать гипотезы и их тестировать их.
Ещё тонкость. Обычно я чуть меняю классические правила и убираю 0 из допустимых для загадывания цифр. Во-первых, это удобно, т.к. нет проблем с начальной цифрой. А во-вторых, первыми своими ходами показываю, как можно за два первых хода понять, есть ли там конкретная цифра.
Например, первым ходом тестирую 2547, а вторым 1683. Так я понимаю, есть ли в исходном числе цифра 9. Если хочу сделать рассуждения ещё прозрачнее для ученика, проверяю числа 1234 и 5678.
У этой игры есть онлайн-версии. Например, здесь https://metaschool.ru/pub/games/bulls-and-cows/bulls.... Но по опыту могу сказать, что для учеников они не заходят. С одной стороны у таких тренажёров те же самые функции, с другой – в этой игре очень важно именно живое общение.
Иногда эту игру можно развить и на основе неё придумывать логические задачи. Например, показать какие-то несколько ходов, которые привели к конкретным результатам и пробовать по ним восстановить исходное число.
7. Лента Мёбиуса
Ещё один крючок – это различные трюки с лентой Мёбиуса.
Описывать их подробно нет смысла. Лучше просто посмотреть на видео, как это выглядит.
Видео №1: https://www.youtube.com/watch?v=oYoqNPlayXg
Это фактически математический стендап от Мэтта Паркера. Его можно (и нужно!) посмотреть полностью. Там невероятная плотность интересных математических этюдов. Но нас в этом видео интересует кусок с 24:42 по 35:20. В нём Мэтт по-разному разрезает различные типы колец и перекрученных лент Мёбиуса. Особенно обратите внимание на момент, когда из двух склеенных колец получается квадрат (29:32).
Видео №2: https://www.youtube.com/watch?v=9iZoMYrQmZg
Это семинар на малом Мехмате. Его ведущая Елена Пронина показывает ученикам начальной школы разные топологические интересности. Т.к. это образовательный семинар, то с точки зрения обучения и с точки зрения системности это видео более интересно.
И здесь она тоже по-разному склеивает и разрезает кольца и ленты (момент с квадратом можно посмотреть на 39:54 во втором видео).
Если Мэтт делает упор на юмор и подачу, то во втором видео автор пытается чему-то реально научить детей.
По этим двум видео можно самостоятельно собрать очень продуктивное кружковое занятие.
Но я снова хочу обратить ваше внимание на разрезание двух склеенных колец. Практика показывает, что это самая эффектная часть демонстрации. А наибольшего вау-эффекта можно добиться следующим образом, используя идеи этих двух видео.
Во-первых, сначала нужно с учениками поразрезать разные скрученные ленты Мёбиуса. Там есть о чём поговорить, есть неожиданные моменты, но в пределах нормы. Это подготовит их к по-настоящему захватывающему действию.
Во-вторых, лучше заранее склеить два кольца. Мэтт в своём шоу это делает достаточно быстро и при этом держит аудиторию в тонусе, разбавляя свои действия шутками. Елена на видео склеивает сначала сами кольца, а потом кольца между собой. Это слишком долго. Поэтому для демонстрации лучше заранее изготовить эту «матрёшку» (так Елена называет получившуюся фигуру). Хотя при этом, конечно, следует рассказать аудитории, как она получилась.
В-третьих, лучше использовать скотч. Мэтт делает правильное замечание, что клей очень плохо держит конструкцию, поэтому скотч практичнее и надёжнее для этой задачи. Особенно важно хорошо проклеить в местах стыков колец. Иначе при разрезании они распадутся заранее.
В-четвёртых, для формирования колец хорошо использовать длинную сторону у листа А3. Из такого листа удобно вырезать прямоугольники размером 5см×59см. При таких размерах итоговый результат выглядит внушительнее.
В-пятых, желательно заранее сделать по незаметному надрезу вдоль каждого кольца. Через эти надрезы очень удобно начинать разрезание самих колец. Иначе во время демонстрации будут трудности с началом разрезания. Особенно если вы воспользуетесь плотной бумагой.
И наконец, в-шестых, общая техника разрезания. Это самое важное. Обратите внимание, как Мэтт разрезает конструкцию на первом видео. Он сначала разрезает первое кольцо до конца, а потом второе до конца. После первого этапа уже примерно вырисовывается итоговый результат и вау-эффект не так велик.
Елена делает это более грамотно. Она разрезает кольца небольшими надрезами, оставляя общий распад конструкции на самый последний момент (и даже немного придерживает пальцами конструкцию, когда полностью все разрезала). Плюс она играет с аудиторией, собирая от детей различные предположения по поводу итогового результата. И такой подход даёт свои плоды! Посмотрите на реакцию аудитории (45:40, а потом ещё 52:00 – детям это не надоедает!). Высший класс!
Описание этого крючка получилось довольно длинным. Конечно, лучше сначала посмотреть видео, попробовать повторить эту демонстрацию и уже после этого перечитать про все тонкости. Возможно, на практике найдёте какие-то свои нюансы.
8. Крестики-нолики
Тут всё просто. Не всё ученики знают правильную стратегию игры в крестики-нолики. Поэтому если ученик её не знает, то можно сначала сыграть с ним десяток партий, выиграть часть из них и после этого поставить вопрос о стратегии. Ну а потом подвести его к лучшей стратегии.
Сильных детей на кружке можно потом вывести на тему «Игры и стратегии», но и для обычных учеников это бывает интересно.
Красивый крючок можно сделать, если перед вами матшкольник, которые уже собаку съел на подобных задачах. И который, само собой разумеется, знает выигрышную стратегию для «крестиков-ноликов».
Такому ученику можно предложить следующую задачу: «Есть девять карточек с числами от 1 до 9. Два игрока по очереди набирают их себе. Выигрывает тот, у кого первого появится на руках набор из трёх карточек с суммой чисел 15.»
Автор задачи – В.В.Прасолов. Её фантастическое решение может стать хорошим крючком для сильного школьника: https://vk.com/video299822002_456239407
9. Шесть спичек.
«Подумайте, как можно из 6 спичек сложить 4 правильных треугольника так, чтобы каждая сторона была равна 1 спичке. Ломать спички нельзя.»
Это задача, с помощью которой некоторые психологии проверяют умение школьника мыслить нестандартно.
На практике эту задачу школьники воспринимают скорее как задачу с подвохом («а вы не говорили, что можно выйти в пространство!»). Так как формулировки всех классических задач со спичками подразумевают плоское решение. Поэтому в таком виде она не очень подходит для крючка. Школьники чувствуют себя немного обманутыми вместо того, чтобы восхититься методом решения. Действительно, до этого шага сложно самостоятельно додуматься.
Гораздо интереснее ту же самую задачу переформулировать так: «Как расставить на столе четыре бутылки, чтобы расстояние между их горлышками (центрами) было равно». Идея та же, но выход в пространство более органичен, т.к. бутылки трёхмерны.
10. Задача 9 точек.
Ещё одна известная классическая задача. Если вы её не знаете, то условие и соответствующую исходную картинку можно легко найти поиском в интернете.
Её тоже можно по-разному обыграть. Например, рассказать, что с её помощью проверяют, насколько человек мыслит нестандартно. Или рассказать про то, что она является эмблемой одной известной школы (см. школа №1199).
Сложность задачи в том, что при решении нужно выйти за рамки мысленного квадрата. Но в отличие от предыдущей задачи выход за пределы этих девяти точек более органичен.
Если у ученика не получается решить эту задачу, то можно в качестве подсказки дать похожую вспомогательную: «Как через четыре точки, расположенных в вершинах квадрата, провести 3 отрезка и вернуться в исходную точку?». И рассказать одно из решений: https://marcus.marketing/articles/keisy/4-3 или https://www.youtube.com/watch?v=eYjUnFqi0bA
Пост уже получился довольно большим.
Оставшиеся крючки лучше перечислю в следующей записи.
И уже после этого отдельно расскажу, как пользоваться этими и другими крючками, а также на что нужно обращать внимание, когда вы будете собирать задачи для своей методической копилки.