LaTex: \int{\dfrac{1}{2\,\sin^{2}\left(x\right)+1}}{\;\mathrm{d}x}
int(1/(2*sin^2(x)+1))(dx)
Изначально до упрощения подынтегрального выражения решение получалось вот такое:
258987*sqrt(2*sqrt(6) + 5)*(-pi + atan(0.414213562373095/sqrt(2*sqrt(6) + 5)))/(576180*sqrt(6) + 1411347) + 105731*sqrt(6)*sqrt(2*sqrt(6) + 5)*(-pi + atan(0.414213562373095/sqrt(2*sqrt(6) + 5)))/(576180*sqrt(6) + 1411347) + 2563707*sqrt(5 - 2*sqrt(6))*(-pi + atan(0.414213562373095/sqrt(5 - 2*sqrt(6))))/(576180*sqrt(6) + 1411347) + 1046629*sqrt(6)*sqrt(5 - 2*sqrt(6))*(-pi + atan(0.414213562373095/sqrt(5 - 2*sqrt(6))))/(576180*sqrt(6) + 1411347) + 105731*sqrt(6)*pi*sqrt(2*sqrt(6) + 5)/(576180*sqrt(6) + 1411347) + 1046629*sqrt(6)*pi*sqrt(5 - 2*sqrt(6))/(576180*sqrt(6) + 1411347) + 2563707*pi*sqrt(5 - 2*sqrt(6))/(576180*sqrt(6) + 1411347) + 258987*pi*sqrt(2*sqrt(6) + 5)/(576180*sqrt(6) + 1411347)
После упрощения функцией simplify:
Пределы интегрирования остались теми же
#LaTex: \int{\frac{1}{2-\cos\left(2\,x\right)}}{\;\mathrm{d}x}
#formula: int(1/(2-cos(2*x)))(dx)
Вот программа:
import sympy
from sympy import *
x = Symbol('x', real=True)
expr = 1/(2*(sin(x))**2+1)
smpl = simplify ( expr )
# 1/(2*(sin(x))**2+1) = 1/(2 - cos(2*x))
print( '1/(2*(sin(x))**2+1) = ' , smpl)
print()
integ = Integral( smpl , (x, 0, pi/4) )
print(integ)
print()
print(integ.doit())
#Проверим решение с помощью сервиса:
#https://mathdf.com/int/ru/#expr=1%2F(1%2B2*sin(x)%5E2)&arg=x&b=0&t=pi%2F4
# 1/(2*(sin(x))**2+1) = (arctg(sqrt(3)*tg(x)))/(sqrt(3))
#LaTex: \dfrac{\operatorname{arctg}\left(\sqrt{3}\,\operatorname{tg}\left(x\right)\right)}{\sqrt{3}}+C
#https://mathdf.com/int/ru/#expr=1%2F(2-cos(2*x)&arg=x&b=0&t=pi%2F4
# 1/(2 - cos(2*x) = (arctg(sqrt(3)*tg(x)))/(sqrt(3))
#LaTex: \dfrac{\operatorname{arctg}\left(\sqrt{3}\,\operatorname{tg}\left(x\right)\right)}{\sqrt{3}}
После упрощения результат:
sqrt(3)*pi/9
Latex: \int{\sqrt{3}\,\frac{\pi}{9}}{\;\mathrm{d}x}