Дугинов Л.А. L.duginov@mail.ru
Ключевые слова: Корни полинома, расчёт нелинейных уравнений, методики расчёта.
Введение
Когда предлагается новая методика расчёта корней полинома, всегда интересно сравнить её со старыми методами расчёта, особенно реализованных в компьютерных программах, например, таких как Matchcad.
Краткое описание методики расчёта корней полинома в Mathcade на конкретном примере (только с целыми величинами n4---n1)
Для расчёта первого корня полинома в Matchcad используется функция root:
Для расчёта сразу всех корней полинома в Matchcad используется функция polyroots(V)
Таким образом программа Matchcad нашла 4 корня полинома:
2 действительных: x1=3, x4=-3.381
и 2 комплексных: x2=-0.185+3.235i, x3=-0.185-3.235i
Краткое описание новой методики расчёта корней полинома на конкретном примере
Предлагаемая ниже новая методика была разработана для расчёта сложных гидравлических, электрических и магнитных цепей постоянного тока, поэтому расчёт отрицательных и комплексных корней в ней не проводился. Это не значит, что в новой методике расчёт отрицательных и комплексных корней в принципе не возможен. По крайней мере зная один положительный корень проводились успешные попытки рассчитать все остальные действительные корни. Зато, как будет показано ниже, новая методика рассчитывает этот корень полинома (в отличии от программы Matchcad) как с целыми, так и с дробными величинами показателей степеней. Поэтому, если добавить ещё простоту математического аппарата, то время потерянное вами для дальнейшего чтения этой статьи будет не напрасным. Расчёт по новой методики будет проводиться на примере, приведённом выше.
Требуется по итерационной формуле, которую ещё предстоит вывести, заменить коэффициенты полинома a4-a1 заменить на коэффициенты линейного уравнения соответственно aL4-aL1, так чтобы величины всех показателей степеней n4-n2 были равны 1. Тогда полином F(x) будет равен:
Для 1-й итерации неизвестная величина x принимается равной 1 ( x=1), тогда коэффициенты линейного уравнения aL4-aL1 равны:
Величину x для 1-ой итерации можно вычислить по формуле:
По известной величине x первой итерации значение параметров DH4-DH1, необходимые для расчёта коэффициентов линейного уравнения aL4-aL1 второй итерации, вычисляются по формулам :
Для 2-й итерации и далее коэффициенты линейного уравнения aL4-aL1 определяются по формулам:
На этом подготовка исходных данных для проведения 2-й итерации заканчивается. Ниже приводится 3 распечатки программы с новой методикой расчёта одного корня полинома на конкретных примерах. По одной и той же программе (меняются только исходные данные по величинам степеней) можно вычислить этот корень полинома как для целых, так и для дробных величин показателя степенейn n4-n1.
Пример 1 ( степени n4=4, n3=3, n2=2)
Пример 2 ( степени n4=4,5 n3=3,7 n2=2)
Если увеличить показатель степени n4=4.5 до n4=10.5 получим новый многочлен SDH3, расчёт корня которого показан ниже (для примера-3). Обратите внимание, что количество итераций при увеличении значения показателя степени n4 с 4.5 до 10.5 не изменилось.
Пример 3 ( степени n4=10,5 n3=5,7 n2=2,9)
Выводы
1. Новая методика расчёта корней полинома, продемонстрированная на конкретном примере, устойчиво работает как при целых, так и дробных степенях полинома.
2. Методика расчёта корней полинома Mathcad c функциями root(F(x),x) и polyroots(V) не работает с дробными степенями полинома.
3. Учитывая максимальную простоту математического аппарата, новой методикой расчёта может пользоваться широкий круг программистов, применяющих ранее сложные алгоритмы при расчёте нелинейных уравнений или системы таких уравнений.
Литература
1. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
2. Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» - М.: СОЛОН-Пресс,2005