Задание
Дана сфера с радиусом R. Доказать, что: а) первая производная объёма сферы по радиусу равна её площади; б) вторая производная объёма сферы по радиусу равна учетверённой длине её большой окружности.
Решение
Объём сферы можно рассматривать как функцию её радиуса:
а) Найдём производную такой функции, помня, что площадь сферы S равняется 4πR²:
Здесь: (1) – выносим постоянные коэффициенты за знак производной; (2) – получившиеся в числителе и знаменателе тройки можно сократить.
б) Большой окружностью называется окружность, образуемая пересечением сферы проходящей через её центр плоскостью. Очевидно, что в этом случае радиус большой окружности равен радиусу самой сферы.
Найдём вторую производную объёма, продифференцировав первую, и помня, что длина окружности L равна 2πR:
Приведённые выше выкладки показывают: первая производная объёма сферы по радиусу действительно равна её площади, а вторая производная – четырём длинам большой окружности, что и требовалось доказать.
Комментарий
В вузовском курсе математики производные часто записываются как отношение дифференциалов функции и аргумента. С использованием таких обозначений в задаче требуется доказать следующие два равенства:
Примечательно, что по ходу решении становится легко заметно ещё одно любопытное соотношение – производная площади круга по радиусу равна длине ограничивающей его окружности:
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: