Швейцарский нож Блеза Паскаля. Универсальный признак делимости, которым мы пользуемся, даже не зная того

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Все, как правило, знают некоторые признаки делимости чисел:

1. число делится на 2, если его последние цифры 0,2,4,6,8;
2. число делится на 5, если его последние цифры 0 или 5;
3. число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3;

Оказывается в математике существует универсальный признак делимости, и по своей сути он очень похож на п.3. Этот метод предполагает, что нужно составить некоторую комбинацию из цифр (забегая вперед, и остатков от деления) исходного числа, а затем проверить деление. Метод назван в честь его первооткрывателя - Блеза Паскаля, знаменитого в математике не только своим треугольником. Давайте рассмотрим его подробнее.

Признак Паскаля

Напомню, что любое число в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:

Или на конкретном примере:

Пусть m - это произвольное натуральное число, для которого мы хотим определить признак делимости. Для того, чтобы это проверить, необходимо последовательно вычислить ряд остатков:

В какой-то момент это ряд застопорится и мы получим универсальный признак делимости. Например, возьмем число m=7:

Здесь петля замкнулась, т.к. нулевой остаток принимается равным 1. Следовательно, для любого числа его остаток от деления на 7 равен:

Количество слагаемых зависит от количества цифр в делимом

Давайте проверим делимость на 7 числа 4357:

Если результат будет равен 0, значит деление происходит нацело

Понятно, что существуют и другие, более простые методы проверки делимости на 7. Например, в англоязычной Википедии приводятся как минимум 8 вариантов:

Стоит отметить, что эти правила чаще всего используются в устных математических конкурсах.

Теперь посмотрим на признак делимости на 3, чтобы понять, почему мы просто вычисляем сумму цифр:

Здесь все остатки равны 1, поэтому так всё просто.

Делимость на 4:

Это общая формула. Заметив, что остаток зависит только от двух последних цифр, можно сформировать правило: "число делится на 4, если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4".

Проверка делимости на двузначное число

Здесь мы можем провернуть всё то же самое, только вместо 10 у нас будет 100.

Ну и для проверки:

Согласитесь, признак тоже не совсем удобный. Например, в той же Википедии:

Однако, здесь я хотел рассказать именно про "швейцарский нож Паскаля".

• Спасибо за внимание!
• TELEGRAM и VK - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.