Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам об одном удивительном парадоксе из теории вероятностей с достаточно простым условием, но деталями, в которых, как это и бывает, "кроется дьявол". В ходе его анализа получаются два различных решения, которые, те не менее, аргументированы и подтверждаются выкладками из формул.
Эксперимент
В воскресный вечер руководитель эксперимента подбрасывает симметричную монету.
Решка
Если выпадает "решка", то Спящая Красавица принимает снотворное в лаборатории и ложится спать. Её сон в лаборатории прервут один раз - в понедельник - и заново усыпят.
Орёл
Если выпадет "орёл", то Спящая Красавица всё так же ложится спать, но в лаборатории её пробудят уже дважды - в понедельник и во вторник. После пробуждения в понедельник Красавице дополнительно дадут препарат, который заставит её забыть это пробуждение, так что во вторник Красавица не будет помнить, что было вчера.
Условия
Монета подбрасывается всего один раз в воскресенье. Никакой дополнительной информации о дне пробуждения Красавица получить не может, однако все условия эксперимента знает. Все пробуждения для неё неразличимы.
Вопрос
Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили (день недели не говорят). Как ты считаешь, какова вероятность того, что в эксперименте монета выпала решкой?
В чём парадокс ?
Самый простой ответ на поставленный вопрос - это, конечно, 1/2. Ведь Спящая Красавица знает об эксперименте, знает, что будет подбрасываться симметричная монета. Следовательно, не получая никакой дополнительной информации в ходе эксперимента, у неё нет оснований менять своё ожидание относительно выпадения орла.
С другой стороны есть обоснованная позиция, которая утверждает, что вероятность равна 1/3.
Когда Спящая Красавица просыпается, она знает, что может находиться в трех ситуациях:
Выпал решка - и сегодня понедельник (Н1).
Выпал орёл - и сегодня понедельник (Т1).
Выпала орёл - и сегодня вторник (Т2).
Спящая Красавица может решить, что попала в ситуацию, когда возможных вариантов три, а вероятность всех исходов одинакова, но только в одном из них выпадает решка. Следовательно, вероятность её выпадения равна 1/3.
Можно возразить, что вероятности этих трех событий не одинаковы, как показано на рисунке выше. Однако и натурные эксперименты, которые можно провести на листке бумаги, и формулы показывают, что вероятность равняется именно 1/3. Все выкладки есть в статье, доступной для скачивания в Telegram, и свежем видео от Numberphile:
Разгадка парадокса
Обратите внимание на вопрос, который задается красавице. У неё спрашивают, "какая вероятность выпадения решки в эксперименте". Если бы перед сном в воскресенье перед Красавицей подбросили монету и спросили "какая вероятность выпадения решки", она ни на секунду не сомневаясь дала ответ 1/2. Но условия опыта всё меняют: объективная реальность для Красавицы - это вероятность выпадения решки в 1/3!
В жизни
Подобные взвешенные проценты часто встречаются и в жизни. Например: в странах СНГ более 40% проездов в муниципальном транспорте совершается пенсионерами. Действительно ли 40% населения на пенсии?
Конечно же, нет. Из-за бесплатного проезда, большого количества свободного времени и слабого здоровья пенсионеры – намного более активные пассажиры, чем все остальные. Количество пенсионеров среди пассажиров оценивается в 20 % или даже меньше.
Другими словами, если регистрировать каждый проезд, удаляя все предыдущие проезды пассажира, если таковые есть (как стирают память Спящей красавице), получается, 20% ездящих – пенсионеры. Если ничего не удалять – 40%. Какое из этих двух чисел правильное – зависит от приложения. Специалистам по рекламе нужно число 20%: «Какой процент из увидевших объявление – пенсионеры». Транспортникам важнее 40% – «Какой процент пассажиропотока ездит бесплатно».
Источник жизненной ситуации: Раенко Е.А., Санукова А.М. "Парадокс теории вероятностей".
Другие варианты задачи
Представьте немного измененный эксперимент: теперь Красавицу при выпадении орла будят не два раза в понедельник и вторник, а сто раз.
Готовы ли Вы ответить, что ожидаемая Вами вероятность выпадения решки - 50 % ?
Симуляция или реальный мир ?
Парадокс Спящей Красавицы - это не только математическая проблема. Ровно те же аргументы используются в доказательстве того что мы живём в симуляции.
Компьютерные технологии развиваются так быстро, что совсем недолго осталось ждать тех времен, когда мы сможем создать абсолютно реалистичную симуляцию мира. Как только это случится станет легко создать хоть бесконечное число копий этой симуляции.
Если спросить вас "в симуляции Вы живете или нет" придется ответить что "с большей вероятностью да, ведь симуляций огромное множество, а реальный мир только один".
Так откуда нам знать что этого еще не случилось и мы не живем в симуляции?
Философская проблема
С более строгой философской точки зрения парадокс Спящей Красавицы - это битва между натурализмом и трансцендентализмом.
Многие ученые исходят из того, что большая часть вопросов носит временный характер: то, что мы не знаем сегодня, мы узнаем завтра, ибо никаких принципиальных границ познания нет. Такой позиции соответствует установка натурализма.
Некоторые философы – и особенно те из них, кто симпатизирует трансцендентализму, – как правило, более осторожны и скептичны в оценках прогресса знания. Они допускают, что когда речь идет о нашем незнании или непонимании, проблема не всегда состоит во времени, – возможно, есть принципиальные зоны неясности, которые носят системно обусловленный характер и являются оборотной стороной нашего знания.
Как раз трансценденталисты указывают, что парадокс Спящей Красавицы возникает из-за объективных проблем натурализма. Читайте про другой известный парадокс теории вероятностей:
- Спасибо за внимание!
- Все материалы доступны для скачивания в Telegram