Бытует множество легенд и преданий об основании Цудахара:
После какого-то военного бедствия уцелевшие жители местного плато стекались у возвышенности Эла-Дубура, где было основано Бек-Ши («главное село»). По какой-то причине жители покинули его — выходцы основали Губден и ещё 9 горных джамаатов (в том числе Цудахар). Оставленные земли были признаны общими для 10 образовавшихся сёл. Их было решено не дробить, а использовать поочерёдно.
Согласно другой версии, изначально селение находилось на горе Шамхал в урочище Шибарк («место села»). Но после войны уцелело лишь 12 мужчин с семьями: село было разрушено. Тогда они решили расселиться. Трое основали Губден, остальные — девять крупных горных сёл: Кадар, Мекеги, Акуша, Усиша,Цудахар, Гапшима, Муги, Сирха и Урахи.
Существует и другое предание, которое гласит, что неподалёку от нынешнего селения Хаджал-махи, в местности, где был водопад, на одной из скал имелось селение, которое носило название «Суахар». Жители Суахара, возмущенные жестокостью талхана, уходили в поисках нового места для жилья. Самыми первыми из села ушли два брата, с сестрой и еще один парень. Они остановились на месте старого Цудахара и основали село.
По другой легенде, Цудахар основали переселенцы из Грузии— брат и сестра, которые бежали от преследований князя. Этот вариант также стыкуется с тем, что «Цуда-хар» по-грузински означает «праздный человек» ("цуда — праздник, «каззи» — человек). Но по данному варианту цудахарцы произошли от брата и сестры, хотя лучше придумали в предыдушем варианте, когда к братьям и сестре добавили ещё одного товарища.
Следующий вариант, что с языка соседей лакцев цудахар переводится как нет огня. На вершине горы, когда неприятель появлялся зажигали огонь, и дежурный из лакцев следил за этой горой, где было даргинское поселение и сообшал, что нет огня, ну и оттуда, как-бы и название.
Ну и по моему варианту название цудахар произошло от даргинских слов цIудар - черный, хъар - верх.