Полное условие задачи:
В маленький шар массой M = 250 г, висящий на нити длиной l = 50 см, попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля массой m = 10 г. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Краткое условие задачи:
Решение задачи:
Взаимодействие пули и шара опишем используя закон сохранения импульса системы тел. Движение шара с застрявшей в нём пулей опишем законом сохранения энергии. Условие минимальности скорости пули означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней) обращается в нуль.
Запишем закон сохранения импульса. Он связывает скорость пули перед ударом со скоростью шара с застрявшей в нем пулей сразу после удара:
Импульс пули равен:
Импульс шара с застрявшей пулей сразу после удара равен:
С учетом (2) и (3) перепишем (1):
Запишем закон сохранения энергии. Он связывает скорость шара с застрявшей пулей сразу после удара с его скоростью в верхней точке:
Кинетическая энергия шара с застрявшей пулей сразу после удара равна:
Кинетическая энергия шара с застрявшей пулей в верхней точке равна:
Потенциальная энергия шара с застрявшей пулей в верхней точке равна:
С учетом (6), (7) и (8) перепишем (5):
Из рисунка видно, что:
Тогда получаем:
Условие минимальности скорости пули означает, что шар с застрявшей пулей совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней) обращается в нуль. Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление в этот момент времени запишется следующим образом:
Центростремительное ускорение в этом случае равно:
Сила тяжести равна:
Подставим (13) и (14) в (12):
Выразим из (15) квадрат скорости в верхней точке:
Подставим (18) в (11):
Выразим из (19) скорость шара с застрявшей пулей сразу после удара:
Подставим (23) в (4):
Выразим из (24) скорость пули:
Подставляем в (26) численные данные и находим искомый ответ:
Ответ: 130 м/с.