Теория множеств - это увлекательная и интригующая область математики, изучающая свойства и взаимоотношения множеств. Она позволяет нам анализировать структуры, отношения и понятия, которые используются повседневно в математике.
Однако она также может привести нас к парадоксам - удивительным и кажущимся нелогичными ситуациям, которые тяжело объяснить в рамках стандартной логики. Один из таких парадоксов, известный как "парадокс Берри", является хорошим примером того, как слова и числа могут столкнуться с бесконечностью, порождая парадоксы.
Парадокс Берри
Рассмотрим выражение:
"Наименьшее положительное целое число, которое не может быть определено менее чем из шестидесяти букв".
Из-за ограниченного числа букв в английском алфавите (26 букв), существует ограниченное количество фраз, которые могут содержать менее 60 букв. Следовательно, также существует конечное количество натуральных чисел, которые могут быть представлены фразами, короче 60 букв.
Однако, так как существует бесконечно много положительных целых чисел, существуют также и такие числа, которые не могут быть представлены фразами короче 60 букв.
Если мы предположим, что существует целое положительное число, соответствующее этому свойству, то должно существовать наименьшее из таких чисел. Таким образом, должно существовать наименьшее положительное целое число, которое нельзя описать фразой короче 60 букв.
Но сама эта фраза состоит из 57 букв, что означает, что она может быть использована для описания такого числа. Следовательно, это число не является наименьшим положительным целым числом, которое нельзя описать фразой короче 60 букв, и оно также описывается этой фразой.
Бертран Рассел, первый, кто обсуждал этот парадокс в печати, приписал его Г. Г. Берри (1867-1928), младшему библиотекарю Бодлианской библиотеки Оксфорда. Рассел назвал Берри "единственным человеком в Оксфорде, который понимал математическую логику".
Самореференции
Парадокс Берри основан на концепции самореференции - когда что-то ссылается на само себя. В данном случае, определение числа использует само это число, что приводит к странной и парадоксальной ситуации. Если мы предположим, что такое число существует, то оно должно удовлетворять определению, но при этом оно должно быть больше, чем оно само, что кажется нелогичным.
Самый известный парадокс, использующий самореференцию - это парадокс Рассела. Рассмотрим множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Это множество может быть описано словами, но парадокс состоит в том, что нельзя однозначно определить, включено ли оно само в себя или нет.
Этот парадокс напоминает нам о том, что некоторые концепции могут быть сложными или даже невозможными для точного определения. В математике и логике важно быть осторожным при работе с самореференциями и формальными определениями, чтобы избежать подобных парадоксов.
Разрешение парадокса
Парадокс Берри возникает из-за структурной двусмысленности термина "определяемый". В другой формулировке этого парадокса, например, в той, где используется фраза "...не именуемый менее чем ...", также присутствует подобная двусмысленность. Эти фразы приводят к заблуждениям и парадоксу вроде порочного круга.
Есть и другие термины с аналогичной структурной двусмысленностью, такие как "выполнимый", "истинный", "ложный", "функция", "свойство", "класс", "отношение", "кардинальный" и "порядковый". Разрешение одного из этих парадоксов подразумевает четкое определение того, где именно мы начинаем пользоваться языком неправильно, и введение ограничений на его использование, чтобы избежать таких ситуаций.
Это семейство парадоксов можно разрешить путем введения иерархии значений в язык. Термины с структурной двусмысленностью можно обозначить с помощью подстрочных символов, чтобы показать, что один уровень значения считается более приоритетным, чем другой, в их интерпретации. Например, фраза "Число, не имеющее названия₀ менее чем в одиннадцати словах" может быть записана с использованием этой схемы как "Число, не имеющее названия₁ менее чем в одиннадцати словах".
Альфред Тарский выявил, что парадокс возникает только в тех языках, которые он назвал "семантически закрытыми". Это означает, что в таких языках одно предложение может определять истинность или ложность другого предложения на том же языке, даже если это предложение ссылается на само себя.
Чтобы избежать внутренних противоречий, Тарский предложил представлять уровни языков, где каждый уровень определяет истинность или ложность только для языков на более низком уровне. Это означает, что когда одно предложение ссылается на истинность другого, оно находится на более высоком семантическом уровне.
Предложение, на которое происходит ссылка, является частью "объектного языка", а предложение, ссылающееся на другое, считается частью "метаязыка" относительно объектного языка. В такой иерархии допускается ссылаться на предложения нижних уровней из предложений верхних уровней, но не наоборот. Это предотвращает систему от становления самореферентной.
- Спасибо за внимание!
