В комментариях к моей статье о странных аттракторах @Евгений Лепешев задал ряд вопросов, размышления о которых не умещаются в формат "переписки в комментах". Поэтому я решился на развёрнутый ответ в виде статьи, тем более, что подобные вопросы возникают не только у людей думающих и интересующихся математикой, но и тех, кто вынужден изучать математику в школе или в университете, хоть они сами о том и не просили.
Позволю себе привести комментарий Евгения полностью:
Сергей, Вы огласили свою программу - рассказать про математику, её целостность и красоту. И Вы именно этим рассказом и занимаетесь. Делаете это основательно и качественно.
Мне больше всего не хватает понимания цели. Не Вашей, а математики.
Уверен - создается какой-то инструмент, который можно использовать для решения практических задач.
И уже в этом приближении хотя бы два вопроса возникают.
1. Люди, имена которых Вы упоминали как патриархов - они не обозначали ЦЕЛЕЙ? Прям совсем-совсем?
Разве это не интересно?
ЗАЧЕМ?
2. Если это всё есть синтез модели, то она должна допускать установление "возвратных соответствий". Это - чтобы заменить абстрактные термины их физическими "прототипами".
---------
Собственно, вот и всё что хотелось бы для себя уяснить сейчас. Потому как во всеобщее понимание "по умолчанию" я не верю априорно. К тому же, посмотрел (пока бегло) Ваши материалы по данной теме, и показалось мне, что никто пока не спросил - ДЛЯ ЧЕГО ИНСТРУМЕНТ. Хотя, француз с Насреддином и без этого разошлись полностью довольными друг другом. Это да. Это я помню.
---------
Попробую конкретизировать.
1. Самое общее. Красота - это гармония. Только надо понять ЧЕГО и С ЧЕМ.
2. Ваша динамическая модель состоит из частиц. Не помню, чтобы этим частицам были инкриминированы размеры и формы. Если их нет, значит МОДЕЛЬ не может даже столкнуть частицы друг с другом. ЧЕМУ ЭТО СООТВЕТСТВУЕТ В РЕАЛЬНОСТИ?
3. На модели видна скорость потоков (относительная, но это вовсе несущественно). Скорость ГЕОМЕТРИЧЕСКИ отображать можно! Она имеет направление, к тому же. Энергия геометрического соответствия не имеет. Почему именно энергия, всё же?
4. Очень существенно - РАЗМЕР и ФОРМА частиц (точек на модели). Частица с нулевым размером даже вращаться вокруг своего центра не может. Возможно ли в принципе с помощью этой модели показать закон сохранения импульса? Нет материи, есть движение ... потому и энергия (без носителя?) Пусть так. Можно на этой модели показать почему угол отражения равен углу падения?
5. Пренебрегая размером и формой приходится использовать шомпол веры, чтобы обосновать причину локализации резонансов. Тогда как при наличии размеров сошла бы просто их естественная не кратность.
6. Аттракторы? Это некий фактор формы? И он возник из рукава математика как некий заменитель моделируемых физических форм? - Вот с ним я вообще не понял.
----------------
Это я всё о чем?
- Если модель позволяет вернуться к реальности, то ЧТО ЕСТЬ РАЗМЕР И ФОРМА ЧАСТИЦ?
Вопросы эти носят философский характер и на большую их часть ответить толково будет трудно. Не потому, что не знаю ответов, а потому, что мои слова и рассуждения, могут быть не только некорректными или трудно доказуемыми, но и вовсе отвечать не на заданные вопросы, а лишь на мои интерпретации, причём, только такие, ответы на которые я как будто бы знаю.
Однако я убеждён, что наука без философии теряет свои самые сильные стороны, превращаясь в механические и технические фокусы. Так что размышлять на эти темы надо и я прошу не считать эту статью лишь плодом графомании.
О целях математики
Мне кажется, что математика это система построений моделей реальности, доступных для нашего мышления, анализа и верификации. Здесь важны все три части.
То, что разумом постигается с трудом, мы всё равно силимся вместить в него, превращая в нарратив: миф, легенду или аналогию. В мифе нет места сомнениям и важна лишь форма и точность передачи. Таким образом, например, строятся многие психологические и эзотерические "теории", а также популярные изложения квантовой механики и теории относительности. От рассказчика при этом требуется известная точность в деталях и яркость аналогий, а от слушателя — доброжелательная вера в то, что именно так оно всё и есть "на самом деле". При этом в числе аргументов можно найти и силу авторитетов, и складность изложения, выдаваемую за логичность, и апелляции к общему мнению.
Анализу при этом места нет, а именно он позволяет беспристрастно очертить границы применимости модели, сузить до минимума начальные эмпирические или нарративные допущения и отделив модель от реальности, превратить теоретизирование в теорию: то есть в свод внутренне непротиворечивых положений и выводов.
На этом этапе общей массе становятся уже неинтересными и непонятными изложения квантовой механики и теории относительности, ибо там уже нет никаких полудохлых котов, телепортации, стареющих близнецов или воронок пространства-времени, а вместо них свёртка волновой функции, экспоненциально-затухающее туннелирование, геометрия Минковского и тензор Риччи. На этом этапе аналогиям и мифам на смену приходят абстракции с полностью понятными и зачастую, искусственными основаниями, но доступными для исследования и открытий свойствами.
И тут только появляется шанс для верификации, то есть доказательства корректности отдельных выводов и проверки на состоятельность всей теории.
Увлекательные истории про кота Шрëдингера, треугольные атомы Демокрита, или о раскалённом ядре нашей планеты ни опровергнуть, ни подтвердить натурными экспериментами невозможно. Однако модели этих явлений в форме абстракций поддаются верификации, но только в рамках допустимости этих моделей.
И тут часто возникают жаркие бесплодные споры о соответствии моделей и реальности. Бесплодные, потому что они чаще всего ведутся на уровне нарративов:
"Существует ли эфир?" (вместо поиска того, в каких пределах внутренне не противоречивая эфиродинамика гомоморфна наблюдаемым полевым эффектам?")
"Был ли заговор Пуанкаре-Эйнштейна, Гильберта-Гëделя, Планка-Дирака или они честно ошибались?" (вместо точного определения и расширения всë тех же границ применимости...)
"Существуют ли в реальности комплексные числа, Риманово пространство, эфир или собственный момент вращения у материальной точки или частицы, которая ведëт себя, как волновая функция?" вместо вопроса: "что это, как это соотносится с другими объектами и что они способны моделировать и в каких пределах?"
Не знаю как вам, но истина в этих вопросах мне интересна в той же мере, что и истина в вопросе о том, о чëм же "на самом" деле думал Доктор Стрейндж, когда просил прощения у Железного человека в предпоследней части Мстителей.
Уйти от нарратива, провести анализ и, наконец, верификацию модели можно только, если у нас есть некий идеалистический аналитический инструментарий, верифицируемый изначально и неотменяемо, с чётко очерчиваемыми и, самое главное, познаваемыми границами применимости. Это математика. Она исследует не объекты, а связи между ними, не модели, а связывающие их морфизмы, не структуры, а пределы наших возможностей их анализировать.
Поэтому сотни людей на полном серьёзе решают бесполезную задачу Коллатца; для этого отыскивают фигуру с периодом 41 в игре Жизнь Конвея и проверяют еë омнипериодичность; с этой целью доказывают Великую теорему Ферма и abc-гипотезу. Не результаты важны в этой мастерской, а инструменты и искусство владения ими.
Парадоксальную эффективность математики в решении прикладных естественнонаучных задач я объясняю не тем, что природа математична, а тем, что математичны наше мышление (которое могло затачиваться для оперирования социальными и иерархическими структурами, изоморфными абстрактным категориям из теории категорий) и мысленные модели, которые мы строим для того, что постичь природу.
О целях математиков
На вопрос: "гармонию между чем и чем мы ищем?", я отвечу так: Физики ищут гармонию между мысленными моделями реального мира и эмпирическими знаниями о нëм. Математики же ищут гармонию между, абстракциями, мысленными моделями и связывающими их отношениями. Связь этих отношений с реальностью или с прикладными задачами не всегда являлась движущей силой и источником психической энергии исследователей. А вот поиск и расширение границ познаваемости, применимости анализа и верификации — всегда.
Физика в жизни человека не единственная связь с действительностью. Нельзя сбрасывать со счётов искусство (живопись, музыку, танцы, а когда-то и виртуозное решение уравнений), поиск социального одобрения (никто на доказал гипотезу Коллатца, а я докажу!), но самое главное — тягу к мистическому поиску истины!
Физические теории могут рассыпаться об эксперимент. Социальные и теологические теории не выдерживают схоластических атак. Эмпирическое познание удручает изобилием исключений, а также неизбежными статистическими и когнитивными искажениями, коим несть числа. А гармония искусства легко перечëркивается модой, конъюнктурой или эпигонством. И только математика создаëт ощущение прикосновения к истине, не зависящей от нас.
Доказанное Евклидом доказано навсегда, придуманное Гауссом, полезно навеки, описанное Бурбаки постижимо не только людьми, но и машинами (Sage, Agda, Qoq и подобными им системами автоматической верификации). Я полагаю, что большинство патриархов математики были движимы не перспективами практического использования добываемых ими знаний, а чувством, сродни мистическому восторгу прикосновения к Истине. Истине проходящей сквозь века и всё цивилизации, истине понятной любому мыслящему человеку в античной Ойкумене, в Древней Индии, в средневековой Европе или современном Китае. Озарения немой интуиции Рамануджана оказались верны, но самое главное — понятны Харди, а потом и всеми желающими, не имеющими столь мощной интуиции, но имеющими упорство и аккуратность. Знаменитые великие гипотезы Ферма, Пуанкаре, Римана, Ленглендса родились из чистой невербальной мыслительной деятельности, они скорее всего верны (первые две — точно), и дело тут не в гениальности их авторов, а в том, что гипотезы эти отражают то как наш мозг воспринимает истину.
При этом легко поверить, что "таков и есть мир", подчиняющийся нашей математике. Но противоречивая физика микромира, загадки космологического масштаба, нерешëнные ещё задачи к которым неясно как подступиться, наконец, существование доказуемо неразрешимых задач, подсказывают нам, что "таков есть наш разум", подчиняющий математике то, что удаëтся ей подчинить.
При этом, бывает, случается и польза.
* * *
На более конкретизированные вопросы Евгения после столь обширного вступления ответить легко.
2 и 4. Движение материальных точек, обладающих массой, энергией и даже моментом инерции легко интерпретировать, как модель движения центров масс макроскопических тел. У такой модели, естественно, есть ограничения, но они хорошо очерчиваются скоростями, малыми по сравнению со скоростью звука в телах и энергиями, малыми по сравнению с энергией межмолекулярного взаимодействия.
3. Потому что энергия, в отличие от скорости, это интеграл движения, сохраняющаяся величина, параметр, характеризующий систему или еë состояние, но не зависящий от времени. Однако в случае с шариком и столиком, энергия имеет очень хорошие геометрические интерпретации: либо начальное положение шарика в пространстве, либо его скорость в момент соударения, либо деформация пружины, либо их линейная комбинация. Самое же главное, раз определëнная, она более не меняется и превращается в параметр, качественно определяющий динамику системы.
5. Резонансы здесь понимаются в узком смысле: рациональность некоторой топологической характеристики траектории: числа вращения. Она не имеет отношения к резонансу вынужденных колебаний гармонического осциллятора, и слово это может сбивать с толку. Но со время Ландау и Колмогорова оно прижилось.
6. Аттрактор это вид фазовой траектории или, если хотите, поведения системы. Если колебания затухают под действием трения, аттрактором будет состояние покоя. Если происходят автоколебания или гистерезис, то аттрактор — это замкнутая, возможно многочастотная петля в фазовом пространстве. Наконец, странный аттрактор это траектория, имеющая сплошной спектр, дробную размерность, стохастические свойства, но при этом, структурно устойчивая и, более того, могущая обладать притягивающим свойствами.
На последний вопрос: "что есть размер и форма частиц?" я вынужден смиренно ответить: не знаю. Это зависит от того для каких нужд они нам нужны и как эти характеристики частиц формализуются в той или иной модели. И это не схоластика, а приглашение к уточнению задачи. В общем виде это вопрос представляется мне слишком туманным.
