В школе о производной такого не рассказывали. Что такое линейное приближение?

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня в очередной раз поговорим о производной, но уже о той её стороне, которая в школе обходится стороной. Конечно, это сделано не с каким-то злым умыслом, а лишь потому, что выводы такого раскрытия этого понятия идут далеко за курс школьной математики. Итак, поехали!

Геометрический смысл производной

Итак, все мы прекрасно помним (надеюсь), что значение производной функции в некоторой её точке является тангенсом касательной к функции в этой точке.

Если мы проведем секущую графика функции и рассмотрим, чему будет равен тангенс её наклона относительно оси х, мы получим:

Смещая секущую вправо, и тем самым уменьшая ∆х, мы придем к классическому формуле:

Теперь, зная уравнение прямой, мы можем записать уравнение касательной в следующем виде:

Линейное приближение

Линейная функция, показанная выше, называется линейным приближением функции f(x) в точке х₀. Это понятие относится к числу самых основных в анализе числовых функций и его обобщениях.

Чтобы понять смысл линейного приближения рассмотрим его разность относительно приближаемой функции:

Пользуясь тем, что х - х₀ - это бесконечно малая величина (в определении производной именно так), мы можем переписать формулу в несколько ином виде:

Замена нужная для удобства. Интуитивно нужно понимать, что мы "перевалились" через х и находимся теперь с другой стороны. Т.е. дали самой функции некое бесконечно малое приращение h.

Теперь можем получить представление:

Эти две формулы называются формулами линейного приближения функции f в точке х₀ или формулами Тейлора первого порядка.

При малых значениях h уже третьим членом можно пренебречь.

Брук Тейлор

Если мы отбросим в этих формулах последние слагаемые, то получим формулы для приближенного вычисления значения функций:

Конкретный пример

Пусть имеется следующая функция:

Тогда формула Тейлора имеет вид:

Например, для x+h = 17, формула даёт следующий ответ:

Взгляд с противоположной стороны

Пусть у Вас есть формула Тейлора. Тогда, если для какого-то k можно её записать в виде:

То это является условием дифференцируемости функции! Именно это определение считал истинный Карл Вейерштрасс и называл его теоремой о линейном приближении. Конечно, в дальнейшем этим утверждением пользоваться сложнее, чем наглядным геометрическим представлением. Впрочем, это уже совсем другая история.

• Спасибо за внимание!
• TELEGRAM - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.