Когда я был еще маленький, я читал "Гиперболоид инженера Гарина". Было интересно. И читал в этой же книжке комментарий, что автор ошибся, желаемым свойством собирать параллельный пучок в одной точке обладает не гиперболоид, а параболоид вращения.
Это такая поверхность, которая получится при вращении, скажем, параболы
y = x² вокруг вертикальной оси. И, кстати, в студенческом возрасте я и доказательство получил.
Астрономы это хорошо знают. Можете съездить на экскурсию в БТА и послушать, что там рассказывают о зеркале. Поверьте, это впечатляет!
А в 9 (это тогда предвыпускной был) классе я прочитал в школьном учебнике по физике, что подобным фокусирующим свойством обладает и сферическое зеркало. Это меня удивило, и я решил исследовать поподробнее.
Благодаря простоте поверхности мне удалось решить задачу с помощью элементарной геометрии. Оказалось, что фокуса нет!
Я предложил этот анализ учительнице физики. Она... никак не отреагировала.
По прошествии многих лет я опять встречаю это сомнительное утверждение. Например, здесь:
Далее я попытаюсь восстановить то решение задачи, которое мне тогда удалось получить без применения матанализа.
Все оказалось намного проще, чем мне об этом вспоминалось.
1. Задачу можно рассматривать в плоскости, проходящей через оптическую ось.
2. С — центр зеркала, О — центр сферы, ОА = R — радиус сферы.
3. Луч света (красный), параллельный оптической оси, попадает в точку А и отражается от зеркала. После отражения пересекает оптическую ось в точке F.
4. Обозначим угол СОА через α. Тогда угол ВАО равен α как накрест лежащий...
5. Угол отражения равен углу падения: угол OAF тоже равен α.
6. Треугольник OAF равнобедренный с основанием ОА = R.
7. Отсюда OF = R/(2 cos α) ≠ const. Существенно зависит от α.
Замечание. 8. При α, мало отличающихся от 0, cos α ≈ 1. Поэтому при бесконечно малом радиусе зеркала (не сферы!) точка F почти не меняется и находится на расстоянии R/2 от центра зеркала.
Больше всего поражает, что авторам учебников по физике недоступны такие простые соображения, и они поэтому продолжают нести брехню.
Это у них называется междисциплинарными связями.