Во-первых, к черной дыре стоит запустить серию космических аппаратов со всевозможными приборами — фотокамерой, разного рода спектрометрами (от ИК до гамма-диапазона), а также магнитометрами. Это позволит детально изучить процессы вокруг черной дыры, от формирования аккреционного диска до разрушения падающих тел.
Можно тут, конечно, придраться и сказать, что это не эксперимент, а наблюдение — но вообще-то в астрофизике часто говорят «эксперимент» именно про приборы на борту какого-нибудь космического аппарата.
Во-вторых, можно попытаться развернуть в окрестностях черной дыры аналог ELISA — космического детектора гравитационных волн. Ну или хотя бы лазерную сеть между несколькими аппаратами, которая позволит точно картировать создаваемые черной дырой искажения пространства-времени: это может быть интересно в контексте поиска отклонений от Общей теории относительности (ОТО для краткости). Относительно дешевый аналог такого эксперимента — телескоп, наблюдающий звезды вблизи видимого диска черной дыры, он тоже позволит сравнить реальное отклонение света с теоретически предсказанным и наблюдаемым на больших расстояниях (ну вдруг есть какие-то малые отклонения от ОТО, которые мы не видим?).
В-третьих, на аппарат, находящийся в непосредственной близости от черной дыры, можно поставить атомные часы и проверить эффект замедления времени — опять-таки для уточнения ОТО. Все три предложения, в принципе, реализуемы с нынешним уровнем технологического развития, вот только черной дыры под боком у нас нет.
Если же немного пофантазировать о будущем, то можно и еще один просто замечательный эксперимент провести — скинуть в черную дыру приличных размеров астероид и детально измерить энерговыделение: сколько уйдет в тепло при разрушении, а сколько выделится в виде гравитационных волн.
И все это, разумеется, касается «обычной» черной дыры звёздной массы. К сверхмассивным черным дырам куда как сложнее подобраться, а дыры меньшей массы сами по себе пока остаются весьма гипотетическими объектами.