Мы уже рассмотрели скалярное произведение векторов и определитель матрицы. Самое время поговорить о произведении векторном.
Формально через координаты его можно посчитать, если записать матрицу указанного вида и найти её определитель.
Во-первых, численно произведение векторов будет равно площади параллелограмма, образованного этими векторами. Что уже как минимум полезно для геометрических задач.
Во-вторых, если скалярное произведение показывает, насколько перемножаемые векторы смотрят в одну сторону, то векторное произведение показывает, насколько направление векторов различно. Это хорошо видно по школьным формулам. Скалярное произведение - это произведение длин векторов на косинус угла между ними. А векторное - на синус.
Из "во-вторых" следует "в-третьих". Если мы опишем, например, процесс вращения как ротор, о котором я говорил ранее, то у нас получится вектор, который направлен перпендикулярно той плоскости, в которой происходит вращение. И если мы захотим понять, насколько это вращение интенсивно может взаимодействовать с какими-либо потоками в рассматриваемой плоскости, то нам как раз таки нужно посчитать, насколько в разные стороны смотрят вектор вращения и вектор потока. Т.е. вычислить векторное произведение.
У векторного произведения появляется очень конкретное физическое приложение. Эффект Магнуса и Сила Лоренца определяются именно векторным произведением характеристик происходящих процессов.
И, кстати, даже сам ротор - это векторное произведение вектора частных производных на вектор потока скоростей. Но это уже математические тонкости, которые показывают формальное удобство принятых обозначений для всё тех же решений задач "втупую", когда нужно получить верный ответ, но не хочется вдаваться в подробности происходящих процессов.