Итак, продолжим разговор о релятивистских представлениях о времени. Как известно, создатели СТО предложили такую модель 4-хмерного мира, в которой времени отведена роль еще одного пространственного измерения, добавленного к уже имеющимся трем измерениям. Иначе говоря, до появления СТО время геометрически рассматривалось, как дополнительная пространственно подобная числовая прямая, существующая сама по себе (структура типа «3 и 1»). После создания СТО, время сохранилось в виде все той же числовой прямой, но теперь она вошла на равных правах в трио пространственных числовых прямых, буквально «переплетясь» с каждой из них (структура типа «3 + 1»).
Более того, 21 сентября 1908 года на 80-м собрании немецких естествоиспытателей и врачей Г. Минковский с полной определенностью заявил: «Отныне пространство само по себе и время само по себе должны полностью стать тенями и лишь некоторый вид объединения обоих должен еще сохранить самостоятельность» (Minkowski H. Raum und Zeit. Phys. ZS. 10, 104, 1909). Здесь принципиально важно то обстоятельство, что именно слияние пространства и времени в единый континуум как раз и сделало последний неевклидовым, помимо формального увеличения размерности пространства на единицу.
Так что же в геометрическом отношении означает утверждение о том, что метрика 4-хмерного пространства-времени не является евклидовой?
В прошлой публикации было рассмотрено понятие инвариантности физических величин. Напомню, что, например, инвариантность длины
в 3-хмерном евклидовом пространстве заключается в том, что расстояние между двумя точками на плоскости (a и b), измеренное двумя разными наблюдателями, один из которых движется (K'), а другой покоится (K), окажется одним и тем же, несмотря на то, что измеренные ими координаты точек не будут одинаковыми. Геометрически это означает, что точка b находится на окружности радиусом равным длине отрезка ab.
Обычно изменение координат движущегося объекта записывают в форме дифференциалов, и тогда евклидова метрика выглядит следующим образом:
И поскольку величина ds является инвариантом, то:
Но как же тогда быть с интервалом между событиями? Ведь, оказалось, что теорема Пифагора в 4-хмерном пространстве-времени не применима, и метрика этого пространства в плоскости какого-либо из его поперечных сечений пространством меньшей размерности записывается следующим образом:
Но это уже не уравнение окружности, хотя величина s является инвариантом преобразований Лоренца, и событие, отображаемое
точкой A должно принадлежать линии, состоящей из точек, равноудаленных от точки O. В математике пространство, в котором расстояние между двумя точками описывается приведенным выше уравнением, называется гиперболическим пространством, так как записанное выражение это - уравнение гиперболы, имеющей в пространстве-времени Минковского четыре ветви. Одна из ветвей находится полностью в будущем относительно события O,
другая — в прошлом, а две оставшиеся ветви расположены слева и справа от точки O.
Событие A в любой момент времени может находиться в любой точке одной из ветвей гиперболы (например, в точке A1). Точка A скользит по той или иной ветви. При этом величина интервала между событием A и событием O, как и между событием A1 и событием O всегда будет равной одной и той же величине s, хотя на диаграмме движения объекта в пространстве-времени визуально это вовсе не так.
Отметим еще то, что, если событие A происходит после события O, то оно всегда находится в будущем по отношению к событию O. Событие A (для разных наблюдателей) может перемещаться вдоль кривой (находиться в любой ее точке), но оно никогда не окажется в прошлом по отношению
к O (никогда не перейдет на нижнюю ветвь гиперболы). То есть принцип причинности в пространстве-времени Минковского, таким образом, не нарушается, чего нельзя было бы утверждать, если бы временная компонента интервала входила бы в состав метрической формулы пространства-времени со знаком плюс (когда события находятся на окружности). В последнем случае ни что не помешало бы событию A «сползти» в область нижней полуокружности (в прошлое). Могло бы произойти, например, такое «чудо»: кто-то позавтракал еще до того, как он проснулся.
Вот, примерно так можно, «в двух словах» или «на пальцах», пояснить, что означает неевклидовость 4-хмерного мира, продемонстрировав на релятивистской диаграмме движения то, как выглядит инвариантность интервала между событиями, происходящими в этом мире.
Интересно, что помимо всего прочего, рассматриваемая концепция четырехмерного пространства-времени позволяет достаточно строго и, как мне кажется, убедительно подтвердить дискретность его структуры, то есть обосновать утверждение, имевшее до этого статус всего лишь рискованного предположения, полученного в результате чисто умозрительных рассуждений.
Давайте проделаем это, для чего поступим следующим образом: рассмотрим два следующих друг за другом события. Пусть первое из них происходит в момент времени t и состоит в обнаружении неподвижным наблюдателем некоторого объекта, движущегося с постоянной скоростью v вдоль оси X, и находящегося в этот момент времени в точке x этой оси. Будем считать движение непрерывным и происходящим в непрерывном пространстве-времени. Тогда можно будет снова перейти к более привычной дифференциальной форме записи величины интервала между событиями. Второе событие будет состоять в том, что в следующее мгновение настоящего t + dt наблюдатель находит данный объект в другой точке оси пространства x + dx. Указанные события связаны интервалом ds, квадрат которого равен:
Существование ненулевого интервала между рассматриваемыми событиями ds ≥ 0 служит выражением того факта, что каждое изменение пространственной координаты наблюдаемого объекта dx происходит за соответствующий интервал времени dt. Другими словами, изменения пространственных координат и времени не обращаются одновременно в ноль, и поэтому объект перемещается с ненулевой скоростью, меньшей скорости света (v ≤ c).
Здесь будет уместным процитировать Г. Минковского: «… нужно принять во внимание, что теперь возникает новая механика, в которую входит квадратный корень из указанного дифференциального выражения второго порядка» (Minkowski H. Raum und Zeit. Phys. ZS. 10, 104, 1909).
В своем высказывании Г. Минковский упоминает о, прекрасно всем знакомой, математической операции извлечения квадратного корня, применение которой к величине квадрата интервала между событиями приводит к весьма интересным и важным физическим следствиям.
В собственной системе отсчета объекта dx = 0. Этому нулевому изменению пространственной координаты объекта соответствует не равный нулю интервал времени (поскольку ds ≠ 0):
Появление в последнем выражении мнимой единицы (i) оставим пока без комментариев. Это тема для отдельного разговора. С целью сохранения интриги, приведу лишь одно очень важное замечание, как бы оброненное мимоходом, немецким физиком А. Зоммерфельдом в его комментариях к упомянутому выше докладу Г. Минковского в Кельне: «Обозначение «гипербола кривизны» в точности скопировано с элементарного понятия «круг кривизны». Аналогия делается аналитическим тождеством, если взять вместо действительной координаты времени t мнимую u= ict»:
Вернемся, однако, к выражению для dt. Оно означает, что в системе отсчета объекта существуют такие промежутки времени
(в диапазоне -t0 ≤ dt ≤ t0), в течение которых изменение его пространственной координаты может быть любым в соответствующих величине dt пределах. Указанное изменение приобретает определенное значение не ранее, чем проходит промежуток времени длительностью t0. До этого наблюдатель не может сказать ничего конкретного о состоянии движения того, за чем он следит. Другими словами, объект проявляет свое существование относительно наблюдателя - обнаруживается в очередное мгновение их общего настоящего только по истечении промежутка времени t0. Мгновения настоящего, таким образом, оказываются разделенными промежутками времени конечной длительности – квантами собственного времени этого объекта (Δt), в течение которых он не существует для данного наблюдателя как объект слежения. Иначе говоря, вследствие дискретности физического времени, оказывается, что существование объектов не является непрерывным.
К обнаружению существования соответствующих пределов изменения пространственных протяженностей приводит рассмотрение вертикальных ветвей гиперболы. Нулевому интервалу времени dt = 0 соответствует не равное нулю изменение пространственной координаты объекта:
Это означает, что существуют такие изменения пространственной координаты (в диапазоне -x0 ≤ dx ≤ x0), которые происходят за неопределенные промежутки времени - от нулевого до бесконечно большого. До тех пор, пока не пройдет время t0, наблюдатель не в состоянии найти временно утерянный объект слежения и однозначно точно измерить его пространственную координату, поскольку объект еще не успел вернуться в то мгновение настоящего, которое он покинул после своего предыдущего появления. Поэтому траектория перемещения наблюдаемого объекта состоит из точек его появления, разделенных отрезками конечной длины – квантами собственного пространства объекта, на протяжении которых физически невозможно следить за его перемещением. Иначе говоря, в пространстве-времени для каждого материального объекта существуют «недоступные» диапазоны значений пространственных координат и времени или запрещенные зоны, в пределах которых с объектом не может произойти никаких событий, в частности, невозможно событие его обнаружения.
Таким образом, данный объект не может быть обнаружен в пределах вертикального отрезка AB конечной длины равной 2Δx, ни в какое время из промежутка, изображенного горизонтальным отрезком CD, конечной длительностью 2Δt. То есть исходное допущение непрерывности движения и пространства-времени, парадоксальным образом, привело к выявлению того, что на самом деле они дискретны.
Существование таких промежутков времени и областей пространства можно интерпретировать и несколько иначе: два наблюдаемых последовательно события не могут сменить друг друга раньше, чем через интервал времени Δt и произойти не ближе, чем на расстоянии Δx. Другими словами, не существует таких ИСО, относительно которых смена двух последовательных событий происходит мгновенно (Δt = 0), то есть с бесконечной скоростью, а также и таких, в которых мгновение настоящего для данного объекта, как материальной точки (Δx = 0), длится в течение не нулевого промежутка времени.
Просто поразительно, как Аристотелю удалось предугадать наличие у времени подобной структуры, в основе которой лежат два типа элементов: точки (неделимые «теперь») и конечные, тоже далее неделимые, промежутки времени минимально возможной длительности (кванты времени).
Итак, СТО, и в самом деле, решает вопрос в пользу дискретной структуры времени, объединенного в 4-хмерное многообразие с пространством.
В принципе, на этом с рассмотрением релятивистских представлений о времени можно было бы и закончить. Однако остались еще кое-какие соображения по поводу того, почему, все-таки, метрика пространства-времени Минковского не может быть евклидовой, а также о том, как найти длительность собственного кванта времени и длину собственного кванта пространства того или иного объекта. Об этом и не только - в дальнейших публикациях на канале Физика-блюз.
