Тот случай, когда несмотря на совершенно идентичную последовательность аж шести букв, слова не имеют ничего общего. Или всё-таки чуточку имеют?)
Начнём с "коклюша", он попроще. Это слово происходит от французского "coqueluche". Французские этимологические словари склоняются к тому, что оно идёт от латинского "cucullus" ("капюшон").
При этом соответствующая болезнь на латыни называлась "cucullus morbus". Получается, "капюшонная болезнь". При этом в латыни было ещё одно слово, которое имеет смысл здесь упомянуть: "cuculus" ("кукушка"). И иногда оно тоже писалось как "cucullus". То есть "cucullus morbus" могла пониматься и как "кукушечная болезнь".
Сами французы долгое время никак не объясняли себе название болезни "coqueluche", но в XVII веке филолог Филибер Моне предположил, что оно всё-таки происходит от капюшона, потому что больные появлялись на людях только закрыв голову и лицо головным убором. Его коллега Жиль Менаж версию поддерживал, уточняя, что таким образом больные защищались от переохлаждения.
Но в древнегреческом было слово "кукушка" - κόκκῡξ [kókkūx], а "коклюш" по-гречески сегодня будет "κοκκύτης" [kokkýtis]. А "капюшон" в древнегреческом был "κουκούλα" [koukoúla], то есть название болезни в греческом происходит именно от кукушки, а не от него.
Кстати, во французском кашель мог называться "chant du coq" ("песнь петуха"), что опять выводит на птичью звукоподражательную тему. Таким образом, очень вероятно, что название болезни "коклюш" происходит от имитации звука кашля, которая произошла от имитации голоса птицы.
Теперь "коклюшки".
Вероятно, это уменьшительный вариант слова "коклюха" ("палка, дубинка"), которое можно попробовать возвести к слову "клюка" с приставкой "ко-".
А можно вспомнить ещё слово "коковка" ("набалдашник, загнутый конец клюки"), и то, что Даль связывает коклюшки со словом "кока" или "коко", что в детском языке означало "яйцо". В Тульской губернии "кокольница" - это "яичница", а в Олонецкой "кокач" - это "пирог с кашей и яйцами"
Эти слова происходят от звукоподражания куриному "ко-ко-ко", и если коклюшки действительно отсюда, то отдаленно они имеют связь с коклюшем. Но только очень отдаленно.
- Е.Э. Бабаева "Об одном лексикографическом мифе: случай coqueluche"
- Wiktionary
- Словарь Даля
- Словарь Фасмера