Закон Клавия записывается так:
(¬А -> А) -> А, где
символ "¬" означает отрицание (не верно, что А), а символ "->" означает - влечёт, или следует (например, А -> В, означает А влечет В, или из А следует В).
Тогда этот закон можно выразить так: если из предположения ложности утверждения А вытекает истинность А, то из этого следует, что А - истинно. И если заменить ¬А на В, то очевидно так: (В -> ¬В) -> ¬В: если из предположения истинности В следует ложность В, то из этого следует, что В - ложно.
Выглядит подозрительно.
Что такое закон логики и как можно доказать, что он правильный?
Закон логики - это выражение, состоящее из утверждений, связанных между собой логическими связками (такими, как: "и", "или", "если, то" и др.), которое всегда является истинным, вне зависимости от того каковы эти утверждения. Например, выражение "утверждение А - истинно или утверждение А - ложно" - есть логический закон, потому, что какого бы не было утверждение А, это выражение всегда утверждает истину. Иначе этот закон можно записать так:
А v ¬А ( А или не А)
Выражение же "утверждение А - истинно или утверждение В - истинно" не является логическим законом, т. к. его истинность зависит от того, каковы утверждения А и В. Это выражение записывается так:
А v В (А или В) и называется дизъюнкцией.
Рассмотрим какие истинностные значения принимает это выражение в зависимости от истинностных значений составляющих его утверждений А и В:
1. Если А - истинно и В истинно, то выражение "А - истинно или В - истинно" - утверждает истину (не путать со строгой дизъюнкцией, в случае строгой дизъюнкции "или А - истинно, или В - истинно", т. е. А и В не могут одновременно быть истинными)
2. Если А - истинно и В ложно, то утверждение "А - истинно или В - истинно" - истинно.
3. Если А - ложно и В истинно, то утверждение "А - истинно или В - истинно" - истинно.
4. Если А - ложно и В ложно, то утверждение "А - истинно или В - истинно" - ложно.
Коротко это можно представить в виде таблицы:
<А, В> | А v В
<и, и> | <и>
<и, л> | <и>
<л, и> | <и>
<л, л> | <л>
Если бы все значения выражения
А v В были - "истина", то это был бы логический закон.
В данной таблице показана одна комбинация истинностных значений выражения состоящего из двух утверждений (А и В), однако, всего можно составить 16 комбинаций таких истинностных значений, вот несколько из них (перевернем таблицу):
А: и и л л
В: и л и л
1. А v В: и и и л
2. * : и л л л
3. * : и л л и
4. * : и л и и
5. * : и и и и
...
16.* : л л л л
* - обозначает выражение состоящее из утверждений А и В, связанных некоторыми логическими связками. Например, известно, что комбинации под номером 4 соответствует выражение А -> В (Если А, то В), т. е.
<А, В> | А - > В
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Логические связки, соответствующие каждому из этих 16-ти выражений определяют логические операции над двумя утверждениями А и В. Для выражения состоящего из трех утверждений, будет уже 256 комбинаций истинностных значений. В логике обычно используется черыре логических связки (¬, &, v, - >), однако, известно, что достаточно двух логических связок, с помощью которых можно выразить все возможные логические операции. И более того, существуют логические связки, каждая из которых может выразить все возможные логические операции. Такими связками являются функция Нико и функция Шеффера.
Для доказательства истинности логического закона Клавия, нам понадобиться доказать, что таблица истинности для операции импликации А -> В ("Если А, то В") выглядит так, как было показано выше. Для этого нам потребуется глубже проанализировать смысл этой важнейшей операции.
Продолжение в статье:
Ставьте лайки, делайте комментарии и не забудьте подписаться на канал!
Источники:
1. Википедия - Закон Клавия
2. В. А. Бочаров, В. И. Маркин - Введение в логику: учебник. - М.: ИД "ФОРУМ": ИНФРА-М. 2008. - 506 с.