Иногда прогресс воплощается в озарении, которое в ретроспективе выглядит простым и даже очевидным, и когда кто-то делится им с нами, наш восторг смешивается с некоторым недоумением.
Например, известный зоолог Томас Генри Хаскли так отреагировал на открытие Чарльзом Дарвином теории эволюции:
“Как было невероятно глупо не подумать об этом раньше”.
Это явление часто возникает при изучении математики. Математик Харон Пайпер пишет:
“Странная вещь в математике заключается в том, что вы можете изо всех сил пытаться взобраться на эту гору, затем покорить ее и, выглянув с вершины, обнаружить, что находитесь всего в нескольких футах от того места, откуда начали”.
В том же духе математик Дэвид Эпштейн сказал, что изучение математики подобно восхождению на утес, который перед вами совершенно вертикальный, а позади - горизонтальный. А математик Джулс Хеджес пишет: “Математика подобна выравниванию гор. Это действительно тяжелая работа, и после того, как вы закончили, вы показываете кому-то, и они спрашивают: “Какая гора?””
Эти описания применимы как к людям, занимающимся изучением математики из книг, так и к тем, кто работает на переднем рубеже науки и открывает совершенно новые вещи. Большая часть работы, которую каждый человек выполняет, остается невидимой для других, потому что иногда необходимо тщательно исследовать область, прежде чем найти прямой путь сквозь нее.
Мне вспоминается притча о короле, который попросил величайшего художника в стране нарисовать для него птицу.
Художник сказал: "Приходи ко мне через год, и я подарю тебе твою картину". Когда король вернулся, художник сказал: "Я все еще не готов; дайте мне еще год, и я отдам вам вашу картину". Это повторялось несколько раз, пока, наконец, король не сказал: "Отдай мне картину сейчас же, или я прикажу отрубить тебе голову!"
В ответ на это художник взял кисть и несколькими быстрыми мазками создал самую прекрасную картину птицы, которую король когда-либо видел. Удивленный король спросил: "Если для тебя это было так легко, почему ты заставил меня так долго ждать?" Вместо ответа художник провел короля в другую комнату, где были сотни набросков птиц. Великолепное творение художника, похоже, не возникло из ниоткуда; оно выросло из огромного количества подготовительной работы, скрытой от глаз.
В математике часто бывает так, что мы пытаемся решить задачу, применяя различные подходы, но каждый раз сталкиваемся с неудачей, пока, наконец, не обнаруживаем способ, который работает, возможно, спустя длительное время, месяцы или годы.
В некоторых исследовательских кругах приветствуется обсуждение этих неудач и уроков, которые из них извлечены. Однако в нашей культуре принято описывать только успешные подходы. Этот обычай создает впечатление, что наши успехи являются результатом внезапных гениальных идей, а не продуктом наших усилий.
Поэтому ответы других людей редко звучат как "Как глупо не догадаться об этом", а скорее как "Какого черта, какой умник смог до этого додуматься?"
Дьявол Феффермана
У математика Чарльза Феффермана есть замечательная аналогия, которая мне очень нравится. Он сравнивает занятие математическими исследованиями с игрой в шахматы против дьявола.
Представьте себе, что вы играете в шахматы со сверхинтеллектом, который значительно умнее вас. Однако есть одно жесткое правило: в любой момент вы можете вернуться на любой ход назад и переиграть партию с самого начала, но дьявол этого не может сделать.
Игра за игрой дьявол побеждает вас, но если вы учитесь на своих ошибках, вы можете направить его интеллект против него самого. В конечном итоге, вы исчерпаете свой запас ошибок и обнаружите выигрышную стратегию.
Когда кто-то видит окончательную запись игры (того момента, когда вы победили), они могут восхититься вашей хитроумной ловушкой и спросить: "Как черт возьми вы знали, что это приведет к мату через десять ходов в будущем?" Ответ заключается в том, что у вас уже была возможность исследовать будущее и найти правильное решение.
Аналогично, при попытках построить математическое доказательство вы часто сталкиваетесь с тупиком, но если в конце концов достигаете своей цели, вы можете обнаружить прямой путь. Мы можем рассматривать Дьявола Феффермана как скрытого помощника, трудящегося на службе Бога Пала Эрдеша. Доказательство, которое кажется обладающим божественным предвидением, может на самом деле быть результатом интенсивных подготовительных усилий.
Эрдеш жил в поисках моментов, когда ему удавалось мельком заглянуть в книгу Бога и увидеть там гениальные доказательства. Однако я бы предпочел иметь книгу, которая показывает процесс, посредством которого обычные люди находят свой путь к таким доказательствам.
Книга Дьявола
Математик Дорон Зейлбергер отмечает, что в математическом сообществе предпочтение отдается элегантным доказательствам, в то время как решения, основанные на грубой силе, не вызывают такого интереса, и это ему очень не нравится.
Он верит, или готов притвориться, что верит, в то, что будущий прогресс в математике зависит от громоздких компьютерных доказательств, а не от тех красивых и изящных доказательств в одну-две строки, которые привлекают людей. По его мнению, поиск эстетических доказательств станет эксцентричным занятием для математиков-людей, в то время как их электронные коллеги, свободные от наших человеческих представлений о красоте, будут достигать реальных успехов. С течением времени наши инструменты могут стать нашими хозяевами, а мы сами - их питомцами.
Если Зейлбергер прав, то историки математики в будущем, будь то люди или компьютеры, будут считать 1976 год поворотным. В тот год математики Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен предложили решение столетней задачи о четырех красках, которая требовала огромных вычислительных мощностей для перебора всех возможных вариантов.
Сама задача может быть объяснена ребенку за пять минут, но доказательство, найденное Аппелем, Хакеном и их компьютером, потребовало многих лет работы.
Зейлбергер не только предсказывает великолепный новый мир математики, но и делает все возможное, чтобы воплотить его в жизнь. Вместе с Хербом Уилфом (теперь покойным) Зейлбергер разработал математическую технологию для автоматизации доказательств широкого класса уравнений (см. их книгу "A = B", написанную совместно с Марко Петковсеком).
На протяжении всей своей карьеры ему нравилось искать подходы к решению задач с помощью методов грубой силы. Например, он исследовал теорему Морли о трисектриссах - прекрасное утверждение, доказанное только в 9 веке.
Джон Конвей нашел прекрасное доказательство, но Зейлбергера не интересовали поиски эстетических доказательств; он хотел найти доказательство, которое не требует "божественного вдохновления". И вот он нашел самое уродливое доказательство: алгебраическую проверку с применением метода грубой силы, которая дает полную уверенность в правильности теоремы Морли, но не даёт никакого понимания, почему она верна.
Зейлбергер писал, что у дьявола тоже есть книга, и он воображал, что его доказательство теоремы Морли принадлежит этой книге. Эта книга содержала бы все скучные, неэлегантные доказательства, отсутствующие в книге Бога, как задумал Эрдеш.
Идея о двух книгах прекрасно согласуется с мыслями об уродливой и красивой математике, высказанными математиком Г. Х. Харди, который писал:
“В мире нет постоянного места для уродливой математики”, признавая при этом, что временное уродство является неотъемлемой чертой занятий математикой; вы не можете строить соборы, не воздвигая лесов".
Доказательство Хакена и Аппеля не положило конец истории теоремы о четырех цветах; их доказательство привело к более короткому доказательству, и поиски еще более коротких доказательств продолжаются.
Между тем любовь Эрдеша к элегантности не помешала ему быть феноменально продуктивным, хотя большинство найденных им доказательств не были исключительно элегантны. Так, может быть, нам не нужно выбирать между книгой Бога и книгой Дьявола? Может быть, мы можем почитать обе?
- Спасибо за внимание!