Мы с вами большие молодцы и прошли большой путь! Мы начали с построения модели целых чисел, а потом понеслось!
- Линейные представления и расширение числовых систем
- Классификация числовых систем и их геометрический смысл
Результатом стала вот такая карта мира линейных представлений для арифметик второго порядка с некоторыми любопытными и полезными экземплярами:
Примерами арифметик эллиптического типа были комплексные числа: кольца чисел Гаусса и Эйзенштейна. Гиперболические числовые системы мы использовали для построения кольца целых чисел, когда расширили полукольцо натуральных чисел элементом –1, и факторизовали его делителями нуля, а также когда построили расширение кольца целых чисел золотым сечением для вывода формулы Бине. Наконец, вырожденные дуальные числа легли в основу кольца чисел с погрешностью.
Остались вне нашего внимания невырожденные параболические арифметики и старые добрые рациональные числа, тоже представляющие собой пару (n, d), в которой первый элемент мы называем числителем, а второй — знаменателем. В какой клетке нашего зоопарка живут рациональные числа, вернее, их модели?
В прошлый раз мы детально прошлись по правилам арифметики дробей, то есть модели рациональных чисел в форме пар, отражающих коэффициенты однородного линейного уравнения. Получился такой набор операций:
Налицо линейность всех операций, но есть в этой арифметике кое-что необычное. Во всех рассматриваемых нами алгебрах сложение было поэлементным (как у векторов), а роль умножения доставалась их линейной комбинации. Это позволяло нам использовать линейные представления в форме матриц и полагаться на хорошо разработанные методы линейной алгебры.
В модели рациональных чисел всё наоборот: сложение выглядит как линейная комбинация, а умножение — как поэлементное перемножение. Давайте поразмыслим, с чем это может быть связано.
Имея кольцо целых чисел и желая добавить к нему дроби, мы можем расширить его, например, числом ½, то есть, решением уравнения 2x = 1, не имеющего целочисленного решения. Давайте сравним поведение этого элемента, с поведением похожей на него гиперболической единицы j (решением уравнения x² = 1, отличным от единицы). Рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии с этими элементами (говоря на языке алгебры, на орбиты этих элементов в аддитивной и мультипликативной группах):
Присмотритесь, есть некоторая симметрия между этими последовательностями. Число ½ с умножением образует так называемую свободную группу, такую же, как число j с операцией сложения. Такие группы имеют бесконечное число элементов и они изоморфны группе целых чисел со сложением. В то же время, со сложением число ½ уже ведёт себя по-другому, оно то появляется, то исчезает, превращая себя в целую часть. Подобное поведение, только в более чистом виде, наблюдается при многократном умножении на j.
Получается, что эти две числовые системы очень сходны, хоть и не идентичны. В них меняются местами сложение и умножение. Даже определяющие уравнения у расширений, на которых строятся эти две системы демонстрируют такой же дуализм:
Выходит, что дроби, решая уравнения ax = b, дуальны элементам, решающим уравнения xᵃ = b, которые мы рассматривали до этого.
Привычно расширяя целые числа элементом ½, мы можем получить систему двоичных дробей ℤ(½), которое обладает рядом замечательных свойств, оно позволяет сколь угодно близко подобраться к любому рациональному и вещественному числу, то есть, обладает свойством полноты.
Именно по этому принципу строится широко распространённая модель рациональных чисел — десятичные дроби. Она получается расширением кольца из десяти цифр (кольца вычетов по модулю 10) новым формальным элементом ¹/₁₀. И также как расширение ℤ(½), оно позволяет получить приближение к любому вещественному числу.
Рассуждая с дочкой пятиклассницей о преимуществах различных видов дробей, мы пришли к выводу, что десятичные дроби и проценты удобнее складывать, а обыкновенные удобнее перемножать. Так что умение видеть в десятичных дробях обыкновенные — полезный навык для школьника.
Сейчас мы готовы объяснить алгебраически почему это так. Десятичные дроби, как линейное расширение привычного кольца цифр, имеют простое "покомпонентное" сложение, лишь немного усложнённое переносом между разрядами. В то же время для умножения мы получаем свободную группу, так что, например, решение простецкого уравнения 3x = 1 задействует все возможные степени расширения.
В арифметике дробей операции сложения и умножения как бы меняются местами. В поле ℚ, кроме решения уравнения 2x = 1, есть решения и других уравнений: 3х = 1, 6x = 5 и т.д. таким образом любое уравнение типа ax = b, решается тривиально, в виде соответствующий дроби. Сложение же требует более сложной линейной комбинации, которую мы знаем, как приведение к общему знаменателю.
Таким образом, простым линейным расширением из целых чисел получить рациональные дроби можно, только добавляя бесконечное множество элементов вида 1/p для простых p. Но можно пойти и другим путём, и воспользоваться замеченным нами дуализмом, подобрав подходящую матрицу для представления операции сложения. На эту роль подходит такой объект:
Сложение дробей будет представлено классическим умножением этих матриц
Умножением двух дробей будет их поэлементное перемножение:
А по-настоящему представлять рациональные числа эти матрицы будут после факторизации по отношению эквивалентности, которое отождествляет с единицей все элементы вида:
Это отношение регулярную квадратную решётку целочисленных пар превращает в множество прямых, проходящих через эквивалентные пары, и пересекающихся в нулевой точке, как мы видели в предыдущей статье.
Матрицы, представляющие арифметику дробей относятся к параболическому типу, поскольку их характеристическое уравнение:
имеет кратные корни. Следовательно, орбитами для сложения будут параболы:
Не могу сказать, что это представление даёт какое-то более глубокое понимание рациональных чисел, чем то что мы знаем со школы. Я добавил этот пример для полноты картины мира арифметик.
А что дальше?
Мы рассмотрели расширения числовых систем одним элементом, получая двумерные арифметики. При этом мы ограничивались такими дополнительными элементами, которые могут быть представлены матрицами 2×2. Характеристические уравнения для таких матриц могут иметь степень не выше второй, а это значит, что такие матрицы, в общем виде, представляют решения приведённых квадратных уравнений. Но, конечно, кроме квадратичных элементов для расширения можно использовать и элементы более высокого порядка. Однако, тогда и количество расширяющих элементов будет расти. Для примера, добавим в целым числам решение уравнения x³ = 2. Возведение этого элемента в квадрат приведёт к появлению нового элемента: кубического корня из 4, который не сводится к линейной комбинации целых чисел и ∛2. Таким образом, в этом расширении любое число может быть представлено, как линейная комбинация трех элементов: 1, ∛2, ∛4.
Корни расширяющего уравнения сами имеют некоторую симметрию и образуют группу, которая называется группой Галуа. Её свойства, а именно, структура подгрупп определяет, будет ли это уравнение разрешимо алгебраически. Так в XIX веке удалось обобщить теорему Абеля о неразрешимости в общем виде уравнений пятой степени, до теории Галуа, которая для заданного уравнения некоторой степени позволяет сделать вывод о его разрешимости.
Так что, как видите, прогулка по зоопарку арифметик способна завести нас довольно далеко!