Из палочек и камешков. Целые числа, сложение

Сегодня мы познакомимся с важнейшими инструментами математики: упорядоченной парой, эквивалентностью и факторизацией.

* * *

Считать на палочках легко: две палочки, да три палочки будет пять палочек, в двух кучках по три палочки всего шесть палочек. Так мы учимся основам арифметики, потому что кучки палочек при сложении, умножении или сравнении, ведут себя как кучки чего угодно. А потом незаметно для себя, мы переходим от палочек к числам и встречаемся с первой серьёзной математической абстракцией: натуральным числом.

Натуральные числа используются нами для счёта неделимых вещей и предметов. Такие числа можно сравнивать между собой и упорядочивать. Их можно складывать, перемножать, возводить в степень, снова получая натуральные числа. Наконец, иногда их можно вычитать (если вычитаемое не превышает уменьшаемого) и делить (если делимое кратно делителю).

А что будет, если прибавить к семи палочкам три камешка? Можно повысить степень абстракции, и сказать, что мы получим десять предметов. Но вообще-то это будет две чётко различимые кучки: 7 палочек и 3 камешка. Если их засунуть в мешок, встряхнуть и снова высыпать, информация никуда не денется, мы опять получим 7 палочек и 3 камешка. В математике такая конструкция из двух несмешиваемых величин называется упорядоченной парой. В нашем случае, мы получили пары натуральных чисел, которые будем записывать следующим образом (7, 3). Первое число всегда обозначает количество палочек, а второе — количество камешков.

Упорядоченная пара натуральных чисел 7 и 3.

Тут надо сделать техническое замечание. Глядя просто на 7 палочек, без камешков, мы не поймём, что перед нами упорядоченная пара. Так что для определённости в любой паре должны быть и палочки и камешки, хотя бы по одной штуке. Это, к тому же, соответствует устоявшейся в нашей стране традиции начинать ряд натуральных чисел с единицы, а не с нуля.

Итак, мы получили бесконечное множество пар, теперь попробуем собрать из них корректную числовую систему, а точнее, кольцо.

Кольцом называется множество, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения, такие, что для сложения выполняются переместительный и сочетательный законы, для умножения — сочетательный и распределительный. Кроме того, для сложения есть единственный нейтральный элемент — ноль, и у каждого числа есть противоположное, такое, что в сумме они дают этот самый нейтральный элемент.

Как видно, натуральные числа кольцом не являются, поскольку в них отсутствуют противоположные числа и нет нуля.

Сложение

Определим сложение для пар так, как складывались бы настоящие кучки палочек и камешков. Сложив две пары, мы получим новую пару, в которой отдельно сложатся палочки и отдельно — камешки:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Здесь мы выделили жирным шрифтом сложение для пар, тогда как сложение для натуральных чисел продолжим обозначать обычным образом.

Из-за того, что в натуральных числах все необходимые законы для сложения (переместительный и сочетательный) выполняются, они будут выполняться и для сложения пар. Так что с эти возиться не придётся.

Классы эквивалентности

Мы легко различим две пары (8, 5) и (4, 1), и выглядят они по-разному и весят тоже, если собрать их из настоящих палок и камней. Но есть в них кое-что общее, а именно, разница между количеством палок и камней в обеих парах одинаковая: 8 – 5 = 4 – 1 = 4 3. (Здесь была опечатка, спасибо комментаторам!)

Мы станем считать такие пары эквивалентными. Эквивалентность, это не равенство, однако оно очень на него похоже. Обозначается оно так a ~ b. При этом должны выполняться три закона:

1) a ~ a

2) если a ~ b, то b ~ a,

3) если a ~ b и b ~ c, то непременно a ~ c.

Таким образом, мы будем говорить, что пары (a, b) и (a + c, b + c) не равны, но эквивалентны друг другу, если дадим корректное определение. Например, такое:

Отношение (a, b) ~ (c, d) выполняется, если найдётся такое натуральное n, что с = a + n, d = b + n либо a = c + n, b = d + n.

То есть, (7, 3) ≠ (5, 1), но (7, 3) ~ (5, 1), потому что (7, 3) = (5 + 2, 1 + 2). Как видите, эквивалентность более мягкое отношение, чем равенство.

Я не буду, как полагается, доказывать, что определённое нами отношение это настоящая эквивалентность (можете сделать это сами), а сразу перейду к тому ради чего математики вводят эквивалентность к факторизации и разбиению на классы эквивалентности.

В силу третьего свойства эквивалентности, всё множество пар можно разделить на непересекающиеся подмножества — классы, в которых все элементы эквивалентны друг другу. Классы мы будем обозначать квадратными скобками. Так, в класс [a] попадут все пары (a + n, n), где n = 1, 2, 3, ...

Если правильно построить отношение эквивалентности, то проявится замечательное свойство классов: возможность обобщения на классы операций, определённых для элементов.

Сейчас мы увидим, как это происходит. Давайте сложим два числа из разных классов

(a + n, n) + (b + m, m) = (a + b + n + m, n + m)

Смотрите-ка, результат сложения попадёт в класс, соответствующий их сумме, для любых чисел n и m. Это значит, что мы можем записать это же выражение для классов:

[a] + [b] = [a + b].

Иллюстрация того, как сумма элементов из класса [2] в сумме с элементами из [3] дают результат, попадающий в класс [5].

Разбиение на классы эквивалентности, позволяющее использовать классы вместо элементов, и согласующееся с операциями алгебраической структуры, называется её факторизацией.

Нейтральный элемент

Теперь мы можем сконструировать нейтральный элемент, которого не было в натуральных числах. Если пары (a, b) и (a + n, b + n) эквивалентны, то это значит, что прибавление пары (n, n) оставляет пару (a, b) не меняет класса, к которому эта пара принадлежит. Более того, все пары (n, n) эквивалентны друг другу и не эквивалентны никаким парам из других классов. Они формируют отдельный класс, который мы можем обозначить как [0], и записать:

[a] + [0] = [a],

что в переводе с языка классов означает:

(a, b) + (n, n) ~ (a, b).

Если вам кажется, что это надувательство, и никакого нуля из камней и палок мы не собрали, то подумайте над этим вот как. Если у нас в мешке 115 палок и 110 камней, то это очень тяжёлый мешок, в котором палок на пять штук больше, чем камней. Если мы выложим по 100 камней и палок, то нам станет куда легче и тащить и считать, и при этом мы не потеряем информацию о том чего и насколько было больше. Факторизация позволяет нам сосредоточиться на главном – на разнице в количестве предметов.

Вычитание

Раз уж мы заговорили о разнице, то пора поразмыслить о вычитании. В натуральных числах вычитать надо осторожно, чтобы из меньшего не отнять большее. Поскольку в наших парах палки и камни обозначают натуральные числа, мы не можем просто записать, что (a, b) – (c, d) = (a – c, b – d), потому что в результате могут кончиться предметы. Нам надо определить вычитание, используя только сложение.

Вспомним, что в определении кольца есть упоминание о противоположных элемента, таких, что в сумме они дают ноль. Рассмотрим сумму (a, b) + (x, y) = (a + x, b + y). Результат будет эквивалентен нулю только если a + x = b + y. Для натуральных чисел единственный вариант решения: x = b, y = a. То есть

(a, b) + (b, a) = (a + b, a + b) ∈ [0]

Обозначим противоположный элемент привычным знаком "минус", и получим

−(a, b) = (b, a).

Очевидно, что два элемента можно переставить местами лишь двумя способами, а значит, −(−(a, b)) = (a, b).

Очевидно, что для любого класса [а] можно определить противоположный ему класс −[a]. Давайте сложим друг с другом элементы из противоположных классов

(a + n, n) + (m, a + m) = (a + n + m, a + n + m) ~ (a, a),

это подтверждает, что [а] + (−[a]) = [0] для всех [a].

Имея противоположные пары, нам совсем нетрудно определить операцию вычитания, как сложение с обратным элементом:

(a, b) − (c, d) = (a, b) + (d, c) = (a+d, b+c).

Ощутите всю прелесть этого построения: мы определили вычитание, использовав только сложение! В натуральных числах вычитать можно не всегда, а разность пар существует во всех случаях, ведь их элементы мы только складываем.

Давайте проверим, как это работает. Вычтем например из пары (9, 4) пару (18, 15) :

(9, 4) − (18, 15) = (9 + 15, 4 + 18) = (24, 22)

Мда.. Непонятно, работает, или нет? А если посмотреть на классы?

(9, 4) ∈ [5], (18, 15) ∈ [3], (24, 22) ∈ [2],

Получается, мы вычли [3] из [5] и получили [2]. Всё верно. Но 3 из 5 мы и на палочках могли вычесть. А если наоборот?

(18, 15) − (9, 4) = (18 + 4, 15 + 9) = (22, 24).

Получили пару, противоположную (24, 22). Если мы обозначим знаком минус противоположные классы, то сможем записать, что [3] − [5] = −[2].

Всё работает исправно! Наша модель целых чисел замкнута относительно вычитания!

Вот как разбиваются на классы эквивалентности все упорядоченные пары:

Факторизация множества пар. По сторонам бесконечного квадрата, образованного парами, выстроилась бесконечная в обе стороны линия классов. Начинает проступать привычный образ целых чисел!

Зелёные стрелки объединяют эквивалентные пары и помещают их в соответствующий класс. Легко увидеть, что пара (a, b) попадает в класс [a – b], если a > b, и в класс –[b – a], если a < b.

Афинная модель

Модель целых чисел, как пар палочек и камешков даёт отличную интерпретацию операции сложения. При этом нейтральный, противоположный элемент и вычитание выглядят несколько искусственно.

Полезно рассмотреть представление этой же системы в виде небоскрёба с лифтом. Этажи небоскрёба пронумерованы натуральными числами, начиная с 1, а пара (a, b) в этой модели обозначает перемещение с этажа a на этаж b.

Противоположный элемент — это поездка в другую сторону. Сумма противоположных поездок естественным образом возвращает нас на исходный этаж, что даёт нейтральный элемент (a, a) — "нулевое" перемещение.

Так же очень естественно в этой модели производится разбиение на классы. Класс [a] объединяет в себе все перемещения на a этажей вверх, при этом мы теряем информацию о том, с какого этажа мы начинаем поездку. Противоположный класс –[a] соответствует любым перемещениям вниз на a этажей.

А вот сумма перемещений в этой модели выглядит странно. Например, как понимать, что (3, 7) + (10, 3) = (13, 10). Это никак не похоже на сложение перемещений: подъём с третьего этажа на седьмой после добавлении перемещения на семь этажей вниз, превратился в спуск с тринадцатого этажа на десятый. Крайне не интуитивно! На уровне классов же всё работает прекрасно, и этот же пример выглядит как [4] – [7] = –[3].

В математике у такого представления есть имя: одномерное афинное пространство, построенное над натуральными числами. Афинные пространства это предмет изучения геометрической алгебры, и в школе мы с ними явно не встречаемся.

Афинное пространство пожоже на векторное, и возможно, кто-то из читателей предположил, что я сведу все свои рассуждения к векторам. Но пример со сложением должен вас насторожить. Векторы, как вы помните, складываются покомпонентно, как и наши пары. Но это сложение имеет совсем иной геометрический смысл и реализует другую модель, о которой мы поговорим, когда будем рассматривать гауссовы числа.

И ещё немного о факторизации

Мы в жизни часто используем разбиение на классы эквивалентности и факторизацию, сами того не осознавая. Например, когда говорим, что "Весам в паре хорошо подходят Львы и Овны, а вот с Девами крепкого союза не получится". Как бы мы не относились к разбиению на классы по знакам зодиака, мы факторизуем иножество людей с его помощью и начинаем оперировать знаками так, как если бы это были конкретные личности. Обратите внимание на "бытовую" факторизацию людей по полу, национальности, профессии... Это свойственно нашему мышлению, но таит в себе опасности, поскольку в отличие от математики, никто не трудится строго доказывать, что факторизующее отношение является эквивалентностью и согласуется с реальными отношениями между людьми.

Наконец, когда мы вместо трёх палочек, трёх камней или трёх миллиардов звёзд, начинаем говорить о числе "три", то мы делаем ни что иное, как факторизацию множества всех кучек счётных объектов, по следующему отношению эквивалентности:

Кучка каких-то объектов эквивалентна кучке других объектов, если каждому объекту из первой кучки можно поставить в пару единственный объект из второй кучки.

Процесс составления упорядоченных пар из объектов или слов, мы и называем пересчётом.

Таким образом, натуральное число "три" — это класс эквивалентности, объединяющий в себе все кучки из любых предметов, которые можно разбить на упорядоченные пары с элементами множества {раз, два, три}.

* * *

На сегодня, пожалуй, хватит. В следующий раз мы выясним как перемножать и сравнивать наши пары.