В одной из серий сериала "Министерство времени" встретилась такая задача. Был там парень со сверхспособностью: видел через предметы. Устроили ему проверку: десять коробок, в пяти лежат перышки, он должен найти эти пять. Ему там нехорошие люди угрожали, требовали не раскрывать способности, и он открыл пять пустых коробок. Формально он провалился, но все всё поняли. Главная героиня сказала, по ходу, что случайно любой угадает половину. Так ли это?
Ну, строго говоря, половина от пяти вообще не существует в целых числах, а приближенно это и две, и три коробки. Вопрос о вероятности угадать 2 или 3 мы и обсудим, как и вероятность угадать ровно три и больше половины. Ясно, что угадать пять пустых столь же невероятно, как и угадать пять непустых.
Какова эта вероятность?
Надо выбрать пять коробок, без повтора (каждая коробка выбирается не более одного раза) и без учета порядка. Это число сочетаний из 10 по 5. Выбрать же пять нужных можно одном способом. Число сочетаний С¹⁰₅ равно 10!, деленное на (5!)². Сократим и получим 6∙7∙8∙9∙10/(1∙2∙3∙4∙5), или 7∙4∙9=252. Получается вероятность все угадать (или все не угадать) ¹/₂₅₂, или 0.004 примерно. Это довольно мало, поэтому успех довольно убедителен.
С другой стороны, хотя бы один раз из 252 попыток будет примерно 1-1/е, то есть 0.63 примерно, а из 500 попыток — уже 0.86.
С третьей стороны, если над вашей неудачей посмеются, а вот за успех заплатят десять миллионов рублей, то средний выигрыш составит тысяч сорок, что не так и плохо, нахаляву-то.
Если считаем одну ошибку "допустимой", то как это увеличит вероятность? Можете прикинуть? В два раза? В пять раз? В двадцать пять? Больше?
Считаем.
Надо выбрать четыре коробки из пяти правильных, это пять вариантов. И одну из числа неправильных, это тоже пять. Получается 25 вариантов, а общее число способов выбрать 5 из 10 не изменилось. Получается вероятность ровно в 25 раз больше, или около одной десятой. Это немного, но и не так мало. Если добавить вероятность угадать всё, получится 26 из 252.
Посчитать вероятность угадать больше половины можно через число сочетаний, но можно и обходным путём. Имеется симметрия между 5 и 0, 4 и 1, 3 и 2, то есть вероятность угадать более половины ровно ½. Мы знаем вероятности угадать 5 и 4, так что вероятность угадать три получается вычитанием; она равна 252/2-26=100 из 252.
Давайте проверим. Выбрать 3 из 5 можно 10 способами, выбрать 2 из 5 тоже 10. Перемножив, получим как раз сто.
В итоге, "угадал больше половины" не доказывает вообще ничего: это как угадать, орёл или решка выпадет на монете в одном бросании. Угадать ровно три коробки тоже не слишком убедительно: случай даёт вероятность 0.39.
Так что Амелия права: случайно любой угадает половину, если под половиной понимать 2-3 коробки.
А что, если коробок 12, и полных шесть? Тогда половина — это три, и насколько это вероятно?
Вероятность угадать ровно три коробки вычисляется по той же схеме. Всего способов выбрать шесть коробок из двенадцати — это число сочетаний из 12 по 6, то есть 12!/(6!)²=924. Угадать ровно три коробки значит выбрать три полные из шести и три пустые из шести: это квадрат числа сочетаний из 6 по 3, а это 20²=400. Вероятность получается равна 0.43 примерно. Угадать четыре шанс почти вдвое меньше, 225/924, столько же дает вероятность угадать две. Это 850 из 924. Остальное — вероятность угадать или не угадать пять или все шесть.
Давайте сравним эти расчеты с вероятностью "развала" козырей. В бридже у пары на двоих 8, 9, 10, 11 козырей. Соответственно, у противников 5, 4, 3 или 2 козыря. Они могут поделиться примерно поровну между противниками (это называется "развал"), а могут "закосить". Считаем.
Число вариантов распределить пять карт между двоими есть 2⁵: представьте у одного из игроков все пять карт с флажками "имеет/не имеет".
Распределение 3—2 получится, если дать одному три карты (это число сочетаний из пяти по три, 10) или две карты (еще 10). Всего 20 вариантов. Вероятность 0.625.
Теперь закос 4—1. Надо либо положить одному игроку четыре карты из пяти (пять вариантов), либо одну (тоже пять). Всего 10. И вероятность вдвое ниже.
Итак, 3—2 вероятнее всего.
Рассмотрим случай девяти козырей (и четыре у противников). Развал — это 2—2. Закос — это 3—1. Может быть совсем неприятный случай 4—0.
Считаем. Всего способов разделить козыри 16. Расклад 2—2 получается, если выбрать одному две карты из четырех: это шесть способов. Вероятность 0.375.
Меньше ½! Смотрим 3—1: это надо выбрать противнику либо 3 карты из 4 (четыре способа), либо одну (тоже четыре). Всего восемь способов, и вероятность выше: ½ ровно. Вероятность совсем грустного закоса равна ⅛.
Интересный вывод: при четном числе козырей у противников вероятнее закос, а при нечетном — развал. Принцип сохраняется: если козырей десять, то три оставшихся делятся 2—1 с вероятностью ¾, а косят с вероятностью ¼. Если козырей 11, а у врагов два, то это классическая задача.
Вероятность развала 1—1 равна вероятности закоса, обе ½, но играть "на развал" дает чуть более высокий шанс выиграть (0.52), нежели прорезка (шанс ½).
Другая крайность, семикарточный козырь (шесть козырей у противников). Всего вариантов распределить козыри 2⁶=64, выбрать три козыря одному из противников можно числом сочетаний из шести по три (20) способами, что дает 0.3125, вероятность скромную. Развал 4—2 более вероятен: положить четыре козыря можно 15 способами, положить ему же два тоже 15, что дает в сумме 30, и вероятность развала 0.467 примерно. Причем в сумме это лишь около 0.78, то есть развал 5—1 не так уж и редко встречаются. Поэтому играть на семикарте редко когда действительно надо.
Для преферанса рассуждения аналогичные. Козырей всего восемь, нормально играть, имея четыре. Если повезет, то у вистующих козыри "развалятся", два—два; может быть 3—1, ну а четыре на четыре — это печаль и грусть. Каковы же вероятности?
Мы уже выше их посчитали: там бридж, но числа те же, четыре козыря на двоих. Так что 2—2 имеет вероятность 0.375, 3—1 имеет вероятность ровно ½ ровно. Вероятность совсем грустного закоса равна ⅛.
Случается.