Предельно простое объяснение.
Итак, начнем издалека. Мы знаем, что геометрию можно строить на аксиомах, как Евклид. Но есть и другой путь: координатный. Если у вас есть координатная система, то вы можете всё делать через координаты. Всё сводится, в конечном итоге, к измерению расстояний (и углов, но углы нам пока не нужны). В обычном случае обычных декартовых координат расстояние — это теорема Пифагора. Квадрат расстояния между точками равен сумме квадратов расстояний вдоль каждой оси.
Но координаты могут быть разными. Например, на осях может быть разный масштаб. Это обычное дело, например, при работе с моделями моря или атмосферы: по горизонтали километры, по вертикали — метры.
Тогда в формуле Пифагора появятся метрические множители, которые приводят всё в одну систему единиц.
А ведь бывают косоугольные координаты, в которых оси не под прямым углом, и ими тоже можно пользоваться. Только там вместо теоремы Пифагора надо использовать теорему косинусов, а в ней есть дополнительное слагаемое -2ab cos(φ).
А еще координаты могут быть криволинейными, в которых вместо осей какие-то кривые линии. Примером служат географические (сферические) координаты. И в них градусы долготы разные по длине. А если аналогичные координаты ввести на эллипсоиде, то все градусы будут разные, в зависимости от места.
Получается, что вместо теоремы Пифагора у нас общее выражение для квадрата длины s:
s² = ax² + by² + 2fxy.
Коэффициенты a, b, f называются метрическими коэффициентами, или метрикой. Если они разные в разных точках, то координаты криволинейные. А если постоянные, то всегда можно перейти в такие координаты, в которых f=0, а a=b=1.
Может показаться, что это просто способ единообразно записать формулу для длины в произвольных координатах. Но ведь "обычных" декартовых координат может просто не быть, как нет их на сфере. На глобусе можно ввести другие координаты, но они тоже будут криволинейными. Причем координаты объемлющего трехмерного пространства здесь не помогут: кратчайшее расстояние в пространстве отнюдь не совпадает с кратчайшим на сфере.
Через метрические коэффициенты (а точнее, через то, как они меняются от точки к точке) можно составить набор чисел, называемых тензором кривизны. Этот тензор получается один и тот же в любых координатах, то есть это характеристика пространства, а не координатной системы. На сфере этот тензор имеет ненулевые компоненты, а на плоскости не имеет.
Для сферы, например, там все компоненты либо нули, либо равны гауссовой кривизне, которая обратно пропорциональна квадрату радиуса сферы. И в любых координатах это будет так, потому что радиус сферы от выбора координат на ней никак не зависит.
Если все числа этого набора равны нулю, то можно найти декартову систему координат (где они изначально равны нулю, потому что от точки к точке метрические коэффициенты не меняются). Если же хоть одно число из набора не нуль, то декартовых координат вообще нет. Как на сфере.
Пока это всё такая "прикладная геометрия". Давайте ближе к физике: рассмотрим пространство-время, добавив к трехмерному пространству ось времени. точки имеют четыре координаты: три пространственных и время. Там можно вычислять "расстояния", которые складываются из расстояния в пространстве и интервала времени между точками. И есть метрика.
Если эта метрика в каких-то координатах постоянная, то пространство-время плоское. Но мы можем — пока математически — рассматривать любые координаты. И метрика может быть неплоской, то есть коэффициенты зависят от точки: меняются. Вопрос, существуют ли координаты, в которых она плоская, не так прост. Ответ на него и дает тензор кривизны: если он не нуль (хоть одна компонента!), то пространство искривлено и декартовых координат там нет.
То есть если пространство-время искривлено, то плоской метрика быть не может. Как на сфере. Криволинейные координаты не прихоть, а необходимость.
В таком пространстве нет прямых линий, а ведь прямые линии в пространстве-времени — это движение с постоянной как по направлению, так и по величине скоростью. Нет прямых линий — нет неускоренного движения. Всё правильно, в присутствии гравитации полет по прямой если и возможен, то с ускорением: попробуйте пролететь по прямой мимо планеты! Если и получится, то с применением двигателей, крыльев, подвесов или подпорок. С приложением силы и, следовательно, с ускорением.
Мы видим, что нет никакой необходимости в "объемлющем" пространстве. Кривизна связана только и исключительно с особенностями подсчета расстояний.
Что нам дает уравнение Эйнштейна? Оно связывает тот самый тензор кривизны с распределением энергии в пространстве-времени. Вся энергия (и импульс) идет в дело, но в простом случае можно ограничиться плотностью массы.
Можно даже проще: вот есть в пространстве звезда или планета: некоторый шар. Вне его пространство пусть пустое. Там ничего нет, так что в правой части уравнений (оно одно тензорное, равносильное десяти обычным) стоят нули. Можно решить эти уравнения, "вытащив" метрику. В общем случае она окажется неплоской. Значит, прямых путей нет, всегда есть ускорения: это и есть гравитация.
Теперь такой нюанс. Искривление именно пространства обычно очень слабое, можно им пренебречь. Роль играет искривление времени. Звучит это, конечно, страшновато, но вы теперь понимаете, в чем дело: интервалы времени, которые можно с натяжкой считать "длинами" отрезков, по-разному измеряются в разных местах, аналогично градусам вблизи полюса и на экваторе. Это чисто геометрическое рассуждение, но если у вас есть приборы для измерения времени (часы, причем какой угодно конструкции), которые эти отрезки способны измерять, то они будут давать разные результаты вблизи планеты и в отдалении от нее.
Хорошо, у нас немного по-разному идет время поближе к планете и подальше от нее. А расстояния практически одинаковы. То есть наблюдатель издалека увидит разную скорость объектов, которые летят на разном расстоянии от планеты, хотя наблюдатели вблизи видят одну и ту же скорость, ведь их часы идут в лад с другими часами там же.
Это очень похоже на то, что бывает, когда автомобиль на скорости съезжает колесом на обочину. Трение разное, скорости колес разные (хотя причина совершенно иная!) и возникает притяжение в сторону кювета. Никакой силы со стороны кювета не прикладывается, никакие переносчики этой силы не летят. Просто кривизна трения (разное трение подальше от и поближе к кювету) приводит к тому, что движение по прямой с постоянной скоростью невозможно: либо вас потянет к канаве, либо вы повернете руль и измените направление своего движения с применением силы.
Конечно, здесь важна скорость автомобиля, но можно считать, что все объекты движутся в пространстве-времени: если они стоят в пространстве, то летят во времени от прошлого к будущему, и весьма быстро: со скоростью света. Кстати, теперь понятно, почему время замедляется при быстром движении: чем быстрее вы летите в пространстве, тем меньше "остается" на полет во времени. Это как движение на север: можно ехать строго на север, а можно уклоняться к востоку; чем больше уклон к востоку, тем медленнее (при той же скорости) приближается полюс.
Ну или сутки пройдут, что бы вы ни делали, но если вы работаете, то меньше остается времени на безделье. Если вы ухитритесь работать 24 часа, то на отдых времени не будет вовсе.