Отчего "гнётся и рвётся" пропеллер на фото и видео вы, наверняка знаете. А какую именно форму принимают лопасти винта? Как зависит их видимая форма от скорости вращения? И причём здесь гиперболы?
Мой сын очень уважает самолёты. Особенно, турбовинтовые: здорово же, когда видно как работает двигатель и как вертится пропеллер! А какую интересную форму принимают винты при съёмке на телефон или цифровую камеру! Класс!
Я полностью разделяю энтузиазм сына, И сегодня хочу подробнее рассмотреть математическую составляющую причудливого поведения пропеллеров, которое можно наблюдать на фото и видео.
Уверен, что для большинства моих читателей, в принципе, ничего особенно сложного в объяснении этого визуального эффекта нет. Развёртка светочувствительной матрицы цифровой камеры работает подобно щелевому затвору и круговое движение винтов "рисуется" на матрице с постоянным дрейфом, как показано на анимациях.
Об этом эффекте есть и заметки в сети и ролики в Youtube, в общем, на качественном уровне всё понятно. Меня же заинтересовало не то, что лопасти "изгибаются" и даже "рвутся", а то, что в искривлённых формах легко угадываются кое-какие образы, хорошо знакомые тем, кто занимался дифференциальными уравнениями, теорией динамических систем. Приглашаю заглянуть в эту задачу поглубже.
Для начала выведем уравнение для видимых точек двухлопастного пропеллера, математической моделью которого может быть вращающаяся прямая, описываемая параметрическим уравнением:
Роль щелевого затвора может играть вертикальная прямая, двигающаяся горизонтально со скоростью v:
Точки пересечения этих двух прямых образуют кривую, с параметрическим уравнением:
На этом этапе пора навести в уравнениях порядок. Введём масштаб времени (1/ω) и длины (v/ω) и приведём уравнения к безразмерному виду:
Перейдя от параметрического представления кривой к явному виду получим чрезвычайно простое уравнение для видимых лопастей:
Если лопастей N штук, то кривые для них будут отличаться фазой под тангенсом:
Вот, например, как будет выглядеть пропеллер с пятью лопастями и переменной фазой (чтобы лопасти крутились):
Здорово! Работает! Но это ещё не всё.
Обратите внимание, при обезразмеривании задачи исчезли оба параметра: частота вращения ω и скорость затвора v. Это говорит о том, что решение задачи автомодельно, то есть, изменению любой из этих скоростей соответствует изменение масштаба длины, но форма кривых останется точно такой же.
При увеличении скорости вращения винта, уменьшается отношение v/ω, что соответствует уменьшению масштаба нашего автомодельного решения. Оно, как бы, сжимается, оставаясь в пределах диска, заметаемого пропеллером.
Глядя на то, как меняется видимая форма лопастей можно обратить внимание на то, что кроме неподвижной точки в центре пропеллера есть ещё одна особая точка с координатами (0, –1). Присмотритесь, проходя через неё кривые терпят разрыв и становятся похожими на гиперболы. Человек, искушённый в дифференциальных уравнениях, узнает в ней гиперболическую особую точку или седло. Откуда она тут и о чём говорит её существование?
Давайте перейдём от кривых, в которые превращаются лопасти, к полю скоростей, по которому двигаются траектории точек лопасти. Для этого продифференцируем параметрические уравнения траектории:
А теперь выразим τ и tg(τ) через x и y:
и подставим в систему дифференциальных уравнений, превратив её в автономную систему (не зависящую от времени явно):
Наконец, можно привести её к более удобному для анализа, виду, изменив динамику (реальные скорости точек вдоль траекторий), но оставив без изменений сами траектории:
Стандартный анализ особых точек этой системы, даёт нам два стационарных решения: вырожденный отталкивающий узел (звезду) (0, 0), и гиперболическую (седловую) точку (0, –1).
Вот как выглядит поле направления скоростей для этой системы со стационарными точками:
А вот её фазовый портрет, отражающий типичные траектории системы (синие линии) и её инвариантные многообразия (чёрные линии):
Вот откуда взялись гиперболы и разрывы у "кривых" лопастей на снимках!
Поглядите сами на то, как видимые точки пропеллера следуют полю скоростей. В тот момент, когда пропеллер проходит через седловую точку, линия и винта совпадают, и единственная точка пересечения превращается в полный отрезок прямой. В этом случае мы получим снимок всей лопасти пропеллера без искажений.
Обратите внимание на то, что именно этот случай изображён на заглавной фотографии к статье.
────────────────────────
Хотите, чтобы в вашей ленте Дзена было больше интересных и глубоких материалов? Подскажите алгоритму Дзена, что там нравятся публикации, подобные этой, подпишитесь, поставьте лайк или прокомментируйте.
Давайте формировать информационную среду вместе!