Постановка задачи
Пусть даны три произвольные точки(A,B,C) на плоскости,зафиксируем на плоскости точку(M),абсолютно не важно будет ли она лежать в плоскости,образованной тремя точками или нет(Рис 1). Рассмотрим обычную игральную кость,представляющую собой кубик на гранях,которого числа 1-6,каждой точки присвоим два значения кубика: точке A - 1,2; точке B - 3,4; точке С - 5,6.
Допустим, что в результате первого броска выпало значение 1 или 2 (Стоит уточнить что каждое из событий равновероятно и равно 1/3),тогда мысленно соединим точку M с вершиной A и найдем середину данного отрезка обозначим ее A1,зафиксируем ее,теперь она играет роль начальной точки.После чего повторим вышеописанную процедуру с бросанием кубика и проставлением точки в середине соответствующего отрезка. Допустим, на втором шаге выпала буква С, потом В, затем опять С и т. д. В результате на каждом шаге мы будем получать все новые и новые точки. Спрашивается, как распределятся внутри треугольника эти точки после достаточно большого числа шагов?
На (Рис 4) отчетливо видим, что после 2000 итераций начинают прорисовываться треугольники внутри плоскости,образованной тремя точками,повысим количество итераций до 5000(Рис 5).Замечаем что каждый треугольник вырождается в еще один треугольник и так далее,данный объект называется фракталом и носит название треугольник Серпинского.
Данная задача является представлением метода случайных итераций или игра в хаос.
Стоит отметить, что постановка задачи не является формальной,можно задавать не три,а четыре пять шесть точек,тогда будут появляться фигуры,имеющие названия как ковер Серпиского или шестиугольник Серпиского
Реализация на Python
Можно задуматься над реализацией данного алгоритма в комплексной плоскости для этого воспользуемся одним из известных языков программирования: Реализуем данный алгоритм на Python(Рис. 6) и получим визуализацию данного явления на комплексной плоскости для трех и четырех точке(Рис.7-8).
Связь с комбинаторикой
В некотором приближении, треугольник Серпинского можно получить из треугольника Паскаля. Если все его четные числа покрасить в белый, а нечетные в черный, то видимые числа своей структурой будут напоминать треугольник Серпинского. Данное свойство представлено на рисунке 9.
Трехмерное представление
Все это время мы находились в двумерном пространстве,в трехмерном существует пирамида Серпинского и губка Менгера(трехмерный аналог ковра Серпинского)(Рис. 10-11)
Применение треугольника Серпинского
Треугольник Серпинского имеет множество интересных свойств и применений в математике и за ее пределами. Одним из примечательных свойств треугольника Серпинского является то, что он является универсальной кривой, что означает, что любая непрерывная функция может быть аппроксимирована последовательностью аффинных преобразований треугольника Серпинского. Это свойство было использовано при построении фрактальных антенн для использования в беспроводной связи.
Треугольник Серпинского также связан с теорией чисел и теорией графов. Он может быть использован для генерации последовательностей двоичных цифр, обладающих интересными свойствами, такими как нормальность или последовательность Де Бройна. Он также является хорошо известным примером самоподобного графа, то есть графа, который может быть разделен на меньшие копии самого себя подобно треугольнику Серпинского.
Треугольник Серпинского также изучался в контексте динамических систем и теории хаоса. Он может быть использован для создания хаотических аттракторов, которые представляют собой наборы точек, асимптотически притягивающихся к сложной и непредсказуемой модели.
Помимо своих математических свойств, треугольник Серпинского также использовался как элемент дизайна в искусстве, архитектуре и компьютерной графике. Его замысловатые и эстетически приятные узоры сделали его популярным объектом для художников и дизайнеров, а его фрактальная природа вдохновила на создание многих других фрактальных узоров и конструкций.
Папоротник Барнсли
Папоротник Барнсли - фрактал, названный в честь Майкла Барнсли, британского математика. Является одним из основных примеров "самоподобных" множеств, т.е. представляет собой математически генерируемый "шаблон", воспроизводимый при любом увеличении или уменьшении количества итераций.Данный фрактал особенно используется в компьютерной графике.
Папоротник Барнсли строится при помощи 4-х афинных преобразований:
Папоротник Барнсли теоретически может быть построен и в ручную,но количество итераций доходящее до 15000,обязывает использовать компьютерные технологии.
Рассмотрим визуализацию данного фрактала.
Связь папоротника Барнсли и треугольника Серпинского
С помощью треугольника Серпинского можно строить другие фракталы используя афинные преобразования.
Заключение
В заключение следует отметить,фракталы оказались невероятно полезными и важными в самых разных областях, от математики и физики до информатики и искусства. Их самоподобие и бесконечная сложность делают их мощными инструментами для моделирования и понимания природных явлений, а также для создания новых моделей и конструкций.
В математике фракталы использовались для изучения теории хаоса, динамических систем и поведения сложных систем. В физике фракталы использовались для моделирования поведения турбулентных жидкостей и других сложных физических систем. В информатике фракталы использовались для сжатия изображений, цифровой обработки сигналов и создания сгенерированных компьютером ландшафтов и текстур.
Фракталы также играют важную роль в искусстве и дизайне, где их замысловатые и визуально поразительные узоры вдохновляли бесчисленных художников и дизайнеров. Они использовались во всем, от архитектуры и моды до музыки и кино, и помогли создать новый визуальный язык, сочетающий математику и эстетику.
Изучение фракталов привело ко многим важным открытиям и инновациям, и их дальнейшее исследование, несомненно, даст еще более захватывающие результаты. Продолжая изучать бесконечную сложность и красоту фракталов, мы получим новое представление о работе мира природы и творческом потенциале человеческого воображения.
