Число π мы (человечество) нашли в геометрии, но ещё одним важным числом в нашей жизни является число е. Все учили логарифмы в школе, но мне кажется, что вряд ли кто-то из «не технарей» скажет, что это такое и какое отношение к жизни имеет число е. А мы скажем.
Вообще, число e это ещё одно найденное человеком знаменитое иррациональное число. Дробная часть e тоже бесконечна, как и у π. Мы используем число е для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем e, когда видим очень быстрый рост или уменьшение. Один из величайших (возможно, и лучший) математиков в истории Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге «Mechanica».
Появление этого числа связано с… деньгами. Да, да с «овеществлённым трудом».
Но перед тем, как перейти к деньгам, расскажем известную легенду (а может быть и правду, хотя свидетелей уже нет). В любом случае, она поможет для начала понять, что такое степенная функция и к каким неприятностям может привести её недооценка.
Итак, некто очень-очень давно изобрёл такую интересную игру, как шахматы. Развлечений в то время было не так, чтобы много — телевизоры, кино, интернет и радио, как и многие спортивные и неспортивные игры отсутствовали, и когда он продемонстрировал свою игру могущественному владыке своего края, тот очаровался игрой и предложил выбрать награду. Некто скромно попросил положить на каждую клетку немного зёрен, но по определённому закону. Владыка легко согласился, но в результате показал себя не всемогущим и вряд ли сумел выполнить своё обещание. Дело в том, что на первую клетку автор попросил положить 2 зерна в нулевой степени, на вторую два зерна в первой, на третью два зерна во второй степени, на четвёртую два зерна в третьей степени и, по тому же принципу заполнить все остальные клеточки, коих всего 64. Правитель был разорён, потому что на последнюю клетку следовало положить 9223372036854775808. Это и есть недооценка роста степенной функции. Он начался с 1, постоянно увеличивался по заданному закону, и через 64 шага вырос в огромное число!
Теперь вернёмся к нашему числу. Хотя число e и связано с именем Эйлера, но строго говоря, первым к нему подошёл Якоб Бернулли. Уже тогда были жадные люди, всякие там средневековые банкиры, и Бернулли стал вычислять сложный процент, чтобы понять, сколько можно заработать на вкладах.
Задачка казалось простой: если дать в долг 100 денежных единиц (для удобства будем считать в рублях) под 10%, то как будет расти эта сумма? Всё будет зависеть от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то в конце года сумма к возврату будет составлять 110 рублей. Если банк передумает и начнёт драть (простите — брать) проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае сумма будет больше 110 рублей. Дело в том, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент и общая сумма будет равна 110,25 рублям. Казалось бы, если делать период начисления короче, то и сумма будет расти. Но Бернулли доказал, что общий доход будет стремиться к ограниченному значению и оно не будет превышать значения числа e. То есть, максимальный доход составит 271,82 рублей. Как вы понимаете, речь идёт о честных банках.
Бернулли оказался скромным, а может быть просто не увидел масштабности применения данного числа и не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге «The Analysis of Infinite». И вот получилась такая формула:
Здесь уже заволновались математики и назвали её «математическим аналогом фразы Гамлета «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой. Почему? А потому что Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один. Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, найденных человеком, в результате дающее ничто. Кроме того:
- константа e связана со степенными функциями;
- константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы;
- знаменитая константа π связана с окружностями.
Дальнейшие исследования показали — эта формула связана с тригонометрическими функциями синуса и косинуса, и эта связь тем более удивительна, поскольку степенная функция стремится к бесконечности, а тригонометрические функции колеблются в интервале от 1 до минус 1. Для наглядности:
Получается, что e в степени i, умноженного на φ (фи) = cos φ + i * sin φ.
Показанные уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны во многих областях науки, в частности, для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера (!).
Вот вам и число e. Разве это не магия? Недаром к его 250-летию в Швейцарии была выпущена марка.
С этим числом связана и обещанная катастрофа в результате перенаселения нашей планеты. Обещал это не людоед и фашист, а мирный человек — английский священник и учёный Томас Мальтус. Он в 1798 году создал наглядный график, где показал критическую точку, в которой пересекались линейный график производства пищи и экспоненциальная кривая (мы уже вспомнили, что это такое) роста человечества.
Представленный им наглядно возможный в будущем дефицит пищи получил пугающее название «мальтузианской катастрофы» и стал основанием для многих нехороших людей (и, к сожалению, некоторых таких же политиков) говорить о необходимости насильственного уменьшения численности населения планеты.
Идём дальше. Следующее число вообще имеет название «число Бога», и что удивительно, оно не от «божественного откровения», а тоже найдено человеком. Но удивительнее то, что оно было вычислено в стародавние времена.
Нашёл его и добросовестно описал Леонардо Фибоначчи, он же Леонардо Пизанский. Правда, своё торжественное название оно получило значительно позже, уже в восемнадцатом веке. А упомянутый Леонардо считается в истории средневековой Европы самым крупным математиком,
и как мы увидим далее — не зря.
Вообще, «боначчи» на итальянском означает «удачливый». Почему ему дали такое почётное звание — неизвестно, но его вклад в науку и место в истории человечества безусловен. Может действительно, потому и «удачливый».
Окончание следует...
Николай Смирнов
Санкт-Петербург, Россия
