Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я думаю, Вы наверняка знаете, что помимо "обычных" комплексных чисел существуют большое количество других, менее известных, искусственных образований. Например, я когда-то рассказывал про их паракомплексных собратьев.
Однако, механизмы их образования очень похожи: мы берем и варьируем "мнимую единицу", то приравнивая её квадрат к целому числу 1 (получаем паракомплексные числа), то к -1 ("правоверные" комплексные), то к 0 (дуальные числа).
К тому же есть еще кватернионы, октонионы и иже с ними...нужно что-то новенькое!
Почти год назад я писал еще об одном интересном формировании - целых гауссовых числах.
В кратце, это комплексные числа, в которых действительная и мнимая часть являются целыми числами. Чисто геометрически, такие числа на плоскости образуют решетку:
Но кто сказал, что решетка должна быть исключительно прямоугольной? Почему бы не попытаться сделать её, например, треугольной, и описать характеристики получаемых чисел?
Оказывается, эту задачу как актуальную, рассматривали еще в 18 веке! Немецкий математик Фердина́нд Го́ттхольд Макс Э́йзенштейн в поисках доказательства Великой теоремы Ферма для n=3 пришел к концепции замечательных комплексных "треугольных" чисел, в будущем названных в его честь.
Введение в числа Эйзенштейна
Давайте вспомним, как вводятся правоверные комплексные числа. Для этого бы берем кольцо вещественных чисел и прибавляем к нему особый элемент, который будем называть мнимой единицей:
Но, давайте-ка, рассмотрим другое определение мнимой единицы и предложим уравнение уже третьей степени:
Теперь за мнимую единицу Эйзенштейна мы можем принять чисто из технических соображений (чтобы было поменьше минусов):
Здесь, чтобы перейти непосредственно к определению чисел Эйзенштейна, мы по аналогии с гауссовыми, будем рассматривать только целые числа в качестве значений действительной и мнимой части.
Но что нам даёт такая достаточно сложная конструкция? Казалось бы, от изящества канонических комплексных чисел не осталось и следа!? Однако, первые впечатления обманчивы!
Свойства чисел Эйзенштейна
В первую очередь, нам хотелось бы, чтобы новые числа сохраняли структуру коммутативного кольца, как и их прародители. Для этого нужно убедиться, что сумма и произведение двух чисел Эйзенштейна являются таковыми:
Здесь я позволил себе частные примеры, но Вы прекрасно понимаете, что и в общем виде всё будет замечательно! Следовательно, есть кольцо!
Как видите, это кольцо включает в себя кольцо целых чисел при n=0. Это очень важный факт будет упомянут в дальнейшем!
Теперь нужно разобраться, как изображать наших новых друзей на плоскости. Для этого я предлагаю поработать с числами Эйзенштейна в русле канонических комплексных чисел, перейдя от алгебраической формы записи к экспоненциальной:
Т.е. мнимая единица Эйзенштейна расположена под углом в 120 градусов и находится на расстоянии 1 от начала координат. Посмотрим, как будут выглядеть остальные числа:
Вершины этого шестиугольника я выделил не просто так! Извините, за кривую картинку!
Чтобы понять, зачем я это сделал, нужно вспомнить, что же такое норма в кольце, и как она вычисляется. Например, в канонических комплексных числах квадрат нормы вычисляется так:
В этом вариант, корень квадратный из нормы - это расстояние от комплексного числа до начала координат. Для чисел Эйзенштейна должно быть аналогичная величина, но её вывести немного труднее:
Как видите, норма здесь другая, но самое замечательное, что геометрический смысл не меняется! Давайте, посчитаем на конкретном примере:
Всё совпало! Теперь преобразуем выражение для нормы, выделив сумму квадратов:
Особенно нас интересуют такие числа, норма которых равняется единице:
Поздравляю! Мы только что доказали, что в кольце чисел Эйзенштейна целых шесть единичных элементов! Единичный элемент при умножении не изменяет норму числа (аналогично, как если умножение на 1 и -1 в кольце целых чисел не меняет модуль числа):
А теперь присмотритесь к найденным единичным элементам! Ведь они в точности соответствуют вершинам шестиугольника, выделенного мной выше!
Кроме того, единицы кольца Эйзенштейна образуют особый вид группы - циклическую:
Великая теорема Ферма и числа Эйзенштейна
Чем замечательны числа Эйзенштейна, так это тем, что образуют эвклидово кольцо - такую структуру, в которой выполняется основная теорема арифметики, утверждающая, что разложение любого числа на простые единственно с точностью до множителей.
Существует два вида простых чисел Эйзенштейна. Первые - это прореженные по некоторому правилу целые простые числа. Доказывается, что все они сравнимы с 2 по модулю 3:
Вторые - это уже числа с ненулевой мнимой частью, норма которых сравнима с 1 по модулю 3:
Доказательство Эйзенштейна Великой теоремы Ферма для n=3 (хотя впервые это сделал Леонард Эйлер) заключалось в следующем преобразовании его её формулировки:
С помощью более широкой теории делимости чисел Эйзенштейна, математику удалось доказать, что такого разложения не существует! А, следовательно, не существует решения и в целых числах, которые являются их подкольцом. Спасибо за внимание!