Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить об элементарной геометрии. Уверяю Вас, что в школьное время Вы упустили одну из настоящих жемчужин этого раздела математики - теорему Декарта-Содди.
Хотя, существуют версии, что доказательство этой теоремы может относиться и к периоду древней Греции и к временам расцвета культуру "сангаку" в Японии, наиболее вероятным её открывателем является Рене Декарт.
Что же тогда сделал нобелевский лауреат Содди? Оказывается, он самостоятельно доказал эту полузабытую теорему, обобщил её результаты для трех измерений и посвятил её поэму! Так или иначе, теперь теорема имеет двойное название. Так давайте же разберемся, в чём её суть. Итак, поехали!
Формулировка теоремы
Когда к устам прильнут уста,
Быть может голова пуста.
Но если вдруг четыре круга
Решат поцеловать друг друга,
То лишь геометра расчет
Их к поцелую приведет.
Вариантов два, любой не плох:
Все три в одном, один средь трех (1)*.
Коль три в одном, то изнутри
К гиганту тянутся они. (2).
Но и средь трех он рад вполне:
Три поцелуя - все извне.
Строчки выше - как раз из поэмы Содди "Поцелуй по расчету", и мы можем догадаться, что речь идёт о четырех соприкасающихся окружностях и некоторых соотношениях между ними.
Итак, найдем, как себя ведут радиусы окружностей по отношению друг к другу.
Следующие формулы выводим из сделанных обозначений. Логика подсказывает, что мы идем в сторону формулы Герона:
Действительно, подставляем и получаем первый результат - площадь треугольника с вершинами в центрах окружностей через их радиусы:
Едем дальше. Теперь построим вписанную окружность, обозначим один уз углов треугольника и рассмотрим прямоугольный треугольник АОH:
В нём выразим тангенс и с использованием прошлой формулы получим:
Теперь много тригонометрии: используя формулы, связывающие квадрат тангенса угла с квадратами синусов и косинусов получим, например:
Теперь задача очень муторная- заключается в последовательном вычислении всех остальных синусов и косинусов половинных углов :
Всё это нам нужно для того (!!!), чтобы сформировать виртуальный треугольник (сумма первых трех углов на рисунке равна 180 градусов!), для которого мы запишем теорему косинусов, заменив стороны треугольника углами
Не до конца понял последний момент, но, видимо получается втупую из-за симметрии. Прошу экспертов выступить в комментариях!
Получим такое страшное выражение:
Если его преобразовать, то можно добраться до той самой жемчужины:
Удивительно, но трем окружностям и одной, примкнувшей к ним (большей или меньшей всех) соответствует одно выражение, при чем почти идеальное с точки зрения симметрии и очень неожиданное!
Примечательно, что теорема Декарта-Содди будет справедлива, даже если заменить две окружности прямыми: тогда нужно от радиусов окружностей перейти к такой специальной величине, как кривизна (у прямой она равна 0, чем меньше радиус окружности, тем она больше).
Обобщение для n-мерного пространства иногда упоминается как теорема Содди — Госсе, В n-мерном евклидовом пространстве максимальное число взаимно касающихся (n-1)-мерных сфер равно n+2. Например, в трёхмерном пространстве могут взаимно касаться пять сфер. Спасибо за внимание!
