В ноябре прошлого года, после десятилетия неудачных попыток, Дэвид Смит, самопровозглашенный любитель фигур из Бридлингтона в Восточном Йоркшире, Англия, заподозрил, что, возможно, он наконец-то решил открытую проблему в математике облицовки: То есть, он думал, что, возможно, открыл "эйнштейна".
В менее поэтичных терминах, эйнштейн - это "апериодическая монотилия", форма, которая покрывает плоскость или бесконечную двумерную плоскую поверхность, но только в неповторяющемся виде. (Термин "эйнштейн" происходит от немецкого "ein stein", или "один камень" - в более свободном смысле "одна плитка" или "одна форма"). Ваши типичные обои или кафельный пол являются частью бесконечного узора, который периодически повторяется; при смещении, или "переводе", узор может быть точно наложен сам на себя. Апериодическая плитка не обладает такой "трансляционной симметрией", и математики давно ищут единственную форму, которая могла бы покрыть плоскость такой плиткой. Это известно как проблема Эйнштейна.
"Я всегда возился и экспериментировал с формами", - сказал 64-летний г-н Смит, который, помимо прочей работы, работал техником в типографии и рано вышел на пенсию. Хотя ему нравилась математика в средней школе, он не преуспел в ней, сказал он. Но его давно "навязчиво интриговала" проблема Эйнштейна.
И вот теперь новая статья, написанная г-ном Смитом и тремя соавторами, обладающими математическим и вычислительным опытом, доказывает истинность открытия г-на Смита. Исследователи назвали свой эйнштейновский метод "шляпой", поскольку он напоминает фетровую шляпу. (Мистер Смит часто повязывает на голову бандану). Работа еще не прошла рецензирование.
"Это, похоже, замечательное открытие!" Джошуа Соколар, физик из Университета Дьюка, который ознакомился с ранней копией статьи, предоставленной "Нью-Йорк Таймс", написал в электронном письме. "Наиболее важным аспектом для меня является то, что плитка явно не попадает ни в один из известных классов структур, которые мы понимаем".
"Математический результат порождает некоторые интересные вопросы физики", - добавил он. "Можно представить, что можно встретить или изготовить материал с такой внутренней структурой". Д-р Соколар и Джоан Тейлор, независимый исследователь из Берни, Тасмания, ранее обнаружили шестиугольную мононить, состоящую из несоединенных частей, что, по мнению некоторых, нарушает правила. (Они также нашли соединенную трехмерную версию плитки Соколара-Тейлора).
От 20 426 до одного
Изначально математические поиски плиток были мотивированы широким вопросом: Существует ли набор фигур, которые могут покрывать плоскость только непериодически? В 1961 году математик Хао Ванг предположил, что такие наборы невозможны, но его ученик Роберт Бергер вскоре доказал, что предположение неверно. Доктор Бергер обнаружил апериодический набор из 20 426 плиток, а затем и набор из 104 плиток.
Тогда игра стала такой: сколько плиток будет достаточно? В 1970-х годах сэр Роджер Пенроуз, физик-математик из Оксфордского университета, получивший в 2020 году Нобелевскую премию по физике за исследование черных дыр, довел число до двух.
С тех пор другие исследователи придумывали формы для двух плиток. "У меня есть пара-тройка своих", - сказал Хаим Гудман-Стросс, еще один из авторов статьи, профессор Университета Арканзаса, который также занимает должность ведущего математика в Национальном музее математики в Нью-Йорке.
Он отметил, что черные и белые квадраты также могут создавать странные непериодические узоры в дополнение к привычному периодическому шашечному узору. "Это действительно довольно тривиально - уметь создавать странные и интересные узоры", - сказал он. Магия двух плиток Пенроуза заключается в том, что они создают только непериодические узоры - это все, что они могут делать".
"Но тогда Святой Грааль заключался в том, можно ли обойтись одной плиткой?" сказал доктор Гудман-Стросс.
Еще несколько лет назад сэр Роджер стремился к эйнштейну, но он отложил эти поиски в сторону. "Я сократил число до двух, а теперь мы сократили его до одного!" - сказал он о шляпе. "Это просто чудо. Я не вижу причин не верить в это".
В статье приводится два доказательства, оба выполненные Джозефом Майерсом, соавтором и разработчиком программного обеспечения из Кембриджа, Англия. Одно из них было традиционным доказательством, основанным на предыдущем методе, плюс пользовательский код; другое использовало новую технику, не компьютерную, разработанную доктором Майерсом.
Сэр Роджер нашел доказательства "очень сложными". Тем не менее, он был "чрезвычайно заинтригован" эйнштейном, сказал он: "Это действительно хорошая форма, поразительно простая".
Воображаемые доработки
Простота была честной. Исследования мистера Смита проводились в основном вручную; один из его соавторов назвал его "изобретательным мастером".
Для начала он "возился" на экране компьютера с программой PolyForm Puzzle Solver, разработанной Яапом Шерпхуисом, любителем плитки и теоретиком головоломок из Делфта, Нидерланды. Но если форма имела потенциал, г-н Смит использовал резальную машину Silhouette, чтобы изготовить первую партию из 32 копий из картона. Затем он собирал плитки вместе, без зазоров и накладок, как пазл, отражая и поворачивая плитки по мере необходимости.
"Всегда приятно работать руками", - сказал г-н Смит. "Это может быть очень медитативным. И это дает лучшее понимание того, как форма имеет или не имеет тесселяцию".
Когда в ноябре он нашел плитку, которая, казалось, заполняла плоскость без повторяющегося рисунка, он написал Крейгу Каплану, соавтору работы и компьютерному ученому из Университета Ватерлоо.
"Может ли эта форма быть ответом на так называемую "проблему Эйнштейна" - не правда ли?". пишет г-н Смит.
"Было ясно, что с этой формой происходит что-то необычное", - сказал доктор Каплан. Используя вычислительный подход, основанный на предыдущих исследованиях, его алгоритм создавал все большие и большие участки плиток шляпы. "Казалось, что нет предела тому, насколько большой сгусток плиток может создать программа", - сказал он.
Имея эти исходные данные, г-н Смит и д-р Каплан изучили иерархическую структуру черепицы на глаз. Доктор Каплан обнаружил и разблокировал признаки, которые открыли традиционное доказательство апериодичности - метод, который математики "достают из ящика, когда у вас есть набор апериодических плиток", - сказал он.
Первым шагом, сказал доктор Каплан, было "определение набора из четырех "метатипов", простых фигур, которые обозначают небольшие группы из одной, двух или четырех шляп". Метатипы собираются в четыре большие формы, которые ведут себя аналогично. Эта сборка, от метатипов к супертипам и суперсупертипам, ad infinitum, покрывает "все большие и большие математические "этажи" с копиями шляпы", - сказал д-р Каплан. "Затем мы показали, что такая иерархическая сборка - это, по сути, единственный способ покрыть плоскость шляпами, чего оказывается достаточно, чтобы показать, что она никогда не может быть периодической
