Формула бесконечности (математическое отступление)
Ранее в предыдущих сериях Гипотеза Планка о квантовании энергии электромагнитных волн не только спасает Вселенную от замерзания в ультрафиолетовой катастрофе, но и делалет волнующееся море электромагнитных волн разных частот, их наложение друг на друга, гладким - хорошим для классических уравнений Максвелла.
Пытливый человеческий ум стремится познать Вселенную. Мы смотрим вширь и вдаль: есть ли у нашего мира граница, каков размер Вселенной? Мы смотрим вглубь и внутрь: из чего сделан мир, могу ли я делить материю без остановки или есть наименьшие кусочки материи? Эти вопросы сопровождают человечество уже тысячи лет. Кажется, что люди многое узнали, но вопросы эти не получили ответа. Более того, сегодня вопрос с границами и размером Вселенной стал еще сложнее, так как он возникает в рамках сложной римановой геометрии и сопровождается вопросами даже и о самом типе геометрии (и о возможном числе измерений). Сложнее стал и вопрос о делимости материи, а также о непрерывности/дискретности пространства и времени. Апории Зенона продемонстрировали логическую противоречивость и в случае непрерывности, и в случае дискретности. По Зенону движение в непрерывном пространстве, в котором между двумя различными точками содержится бесконечное количество промежуточных точек - логически противоречиво, невообразимо.
Математики более-менее разобрались с проблемой Ахиллеса и Черепахи. Оказалось, что полученная бесконечная последовательность отрезков, которые пробегает Ахилесс будет геометрической прогрессией. И с помощью понятие предела можно найти сумму этой геометрической прогрессии.
Бесконечное число математиков заходит в
бар. Первый заказывает одно пиво. Второй - половину кружки, третий -
четверть.
Бармен вздыхает, не дожидаясь продолжения заказа:
- Вот дурачьё!
...и наливает две
кружки.
Случайно ли то совпадение, что формула Планка для спектра излучения абсолютно черного тела также появляется из суммирования бесконечной геометрической прогрессии? Сама геометрическая прогрессия возникает в расчетах Планка после того, как он постулирует существование дискретной порции энергии. Так или иначе, формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии возникаете то тут, то там в физике и математике. Поэтому и по отношению качество/цена применение/сложность формула является очень важной (применений много, а сложность не очень велика). При этом, получить "формулу бесконечности" можно элементарными методами, на физическом уровне строгости. Давайте с этим разберемся, а потом я оставлю пару задачек для самостоятельного решения.
Итак, ищем сумму S=1+q+q^2+q^3+..., которую мы предполагаем известной. Если я умножу правую и левую части на q и добавлю 1 получится 1+qS=1+q+q^2+q^3+q^4+. Справа снова возникла та же самая бесконечная сумма (сравние: в полностью заполненный отель Гильберта с бесконечным числом номеров пришел еще один постоялец, а ему нашлось место - все жильцы переселились в комнаты с номером +1).
Тогда 1+qS=S, а значит S=1/(1-q). Эта формула хорошо работает, пока |q|<1.
От города A до города B расстояние 40 км. Два велосипедиста выехали из A в B и из B в А одновременно и навстречу друг другу, один со скоростью 10 км/час, а другой –– 15 км/час. Муха вылетела с первым из A со скоростью 100 км/час, долетела до второго, села ему на лоб и полетела обратно к первому, села ему на лоб, вернулась ко второму и так далее, пока они не столкнулись лбами и не раздавили ими муху. Сколько километров она пролетела всего?
Говорят, когда эту задачу предлоили Джонни фон Нейману, он мгновенно дал ответ. Как же вы решили так быстро? "Просуммировал бесконечный ряд", ответил он. Действительно, только то надо найти во сколько раз сократится расстояние между велосипедистами, после первого возращения мухи. А для этого нужно всего лишь решить 2 линейных уравнения. Лучше, конечно, как предполагали составители задачи, найти время до встречи - 40/25 ч, и умножить на скорость движения мухи, получив в итоге 40*100/25=160 км.
Если нарисовать графики движения велосипедистов и мухи, или графики движения Ахилесса и черепахи, отмечая там точки прибытия Ахиллеса на прошлое положение черепахи, то можно увидеть, что эти геометрические прогрессии выглядят как математический биллиард, где точка отражается от двух пересекающихся линий. Меня этот натолкнуло на мысль, что любую геометрическую прогрессию можно визуализировать как такой биллиард, а тогда результат суммирования будет определяться точкой пересечения прямых (как в задаче про муху, да или про Ахиллеса того же). И я даже нашел один источник, где близкая идея используется для красивого геометрического доказательства суммы геометрической прогрессии
И в завершение разговора о геометрической прогрессии еще одна задачка. Продавец хочет продать за 200 рублей, а покупатель купить за 100. Они начинают торг по следующим правилам - каждый называет новую желаемую цену по очереди. Новая цена уменьшает разницу между текущими предложениями на 10 процентов. Что выгоднее - начать торг, или дать начать контрагенту? И если продавец начнет, то какая будет итоговая цена торгов (после бесконечного числа раундов)?